Математическое и цифровое моделирование для инженеров и исследователей - Смит Дж.М.
Скачать (прямая ссылка):
Если эти устройства для получения дискретных значений сигнала на выходе разрывают аналоговую схему изменения сигнала во времени, то они могут использоваться для процесса перестройки. Более подробно об этом сказано в гл. 4.
Очень важно понять свойства процесса выделения дискретных значений сигнала и их связь с перестройкой сигнала. При подобной замене непрерывного процесса дискретным вводится два источника ошибок. Первый — это то, что искажается частотный спектр непрерывной функции, которая стала дискретной. Второй — это то, что
96
Устройство mj
дискретизации_rfTj
сигнала
ГпТ
Временная область
д ^ ЛДискретизация ! ^ Получение мгновенных Л Непрерывная e / \с конечными - , ,дискретных / \ функция f* ' 4.......' 4 N'----------*
\импуль сод
Частотная область
Л А Л А А
I Г TT
Рис. 2.2. Влияние дискретизации сигнала на спектр функции f(f)
происходит спектральное искажение из-за смещения фазы (появляется время запаздывания).
Спектральное искажение, связанное с процессом выделения дискретных значений сигнала, можно определить, изучая спектральные характеристики промодулированного ряда импульсов:
f*V) = f{nT)b(t-nT).
Допуская, что преобразование функции f(t) с помощью оператора Фурье /(/о) известно, преобразование функции f*(t) с помощью оператора Фурье может быть представлено как
OO
/*(»~27?(y>+/w,*))'
-OO
где cos является частотой выборок дискретных значений сигнала.
Сравнение спектров исходной непрерывной системы и спектров ряда смодулированных импульсов представлено на рис. 2.2. Перед тем как продолжить наши рассуждения, необходимо остановиться на некоторых обстоятельствах. Заметим, что если функция f*(/<o) обладает синусоидальной волной частотой 1 Гц, а выборка реализуется с частотой 10 выборок в секунду, то спектр содержит смодулированный ряд импульсов при частотах 1, 11, 21, 31, 41, 51 вплоть до 1001 Гц и далее.
Эти высокочастотные компоненты спектра промодулированного ряда импульсов вносятся для преобразования высокочастотных компонентов ряда Фурье. При этом моделирующая функция определяет каждый элемент спектральной линии. Если непрерывная функция обладает синусоидальной волной частотой 11 Гц, она становится дискретной при частоте выборки 10 Гц, при этом ее ряд обладает и более высокочастотными компонентами, такими, как 4 493 Q7
\f*(ju)\
—^ ^ ^——. Смещенный спектр
Перекрытия спектров при широком спектре дискретной Оьпїорки
Рис. 2.3. Смещение спектра частотной свертки при выборке дискретных значений сигнала на самых низких частотах
21, 31, 41, 51 Гц, но помимо этого мы можем обнаружить частоту 1 Гц.
Это является результатом того, что как синусоидальная волна в 11 Гц модулирует частоту 10 Гц, точно также сигнал с частотой в 1 Гц модулируется с частотой в 10 Гц. Этот тип спектрального смещения называют частотной сверткой (с частотами 11, 21, 31, 41 и вплоть до 1 Гц, при осуществлении выделения дискретных значений в 10 Гц), что и наблюдается, если выделяются дискретные значения сигнала со скоростями ниже половины наибольшей частоты компонентов спектра данной функции. Это спектральное смещение и перекрытие областей спектров можно наблюдать на рис. 2.3.
Таким образом, выделение дискретных значений сигнала может привести к двум видам смещения спектра:
— наложению спектра или частотной свертки;
— введению высокочастотных компонентов из-за модуляции дельта-функции.
2.8. ПРОЦЕССЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СИГНАЛОВ
Преобразование сигналов — это термин, который применяется в теории дискретных систем и относится к преобразованию сигнала из дискретных значений в непрерывные.
Из рис. 2.2 видно, что спектр непрерывной функции с ограниченной полосой может быть восстановлен, если выделенные дискретные значения пропускаются через идеальный фильтр, имеющий однозначную передаточную функцию с частотой пропускания в диапазоне от u)s/2 до нуля.
Практическая реализация преобразователей сигналов приводит нас к процессам, которые отличаются от идеальных, но в то же время достаточны по своим параметрам для решения большинства инженерных задач.
98
1
Импульс
/-(fsr ~f
S
Зкстраполятор нулевого порядна
~f(t)
~f
Тім
Импульс-реакция
в)
¦Al'
> Зависимость энстраполятора
а^ 1 Составляющие
Jимпульс-реакции
Рис. 2.4. Экстраполятор нулевого порядка:
а—исходной является непрерывная функция во времени; применение ступенчатой аппроксимации в аналого-цифровом моделировании позволяет упростить задачу синтеза дискретных аналогов непрерывных систем; б—импульс-реакция; в—структурная схема и результат прохождения через нее сигнала. Импульс-реакция=и/=~/=и(О-u(t—Г); L(~f)=l/s—e~s*/s~
= (l-e~sT)/s=*~f(s)
В этой книге мы касаемся больше математической модели перестройки, чем ее физически реализуемой структуры. При преобразовании мы имеем дело с двумя видами характеристик: с отдельными точечными данными возмущающей функции на входе и со сту-печатыми значениями результирующих функций.
Простейшим типом преобразователя является экстраполятор нулевого порядка, который с помощью многочлена нулевого порядка перестраивает последовательность дискретных значений решетчатой функции на входе в последовательность ступенчатых функций на выходе.
