Двучленные уравнения и задачи деления круга - Школьник А.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Следовательно,
Составляем, наконец, двучленные периоды:
Z0 = S -fe"; «, = 8^ + 6*; г2 = е9-[-е8; *a = e«+e»
Нам достаточно взять два первых периода Z0 и Z1. Сумма их
*о + *і Посоставляем произведение Z0 на Z1:
2г0.г1 = е1* + е«+е» + е»=Л. Следовательно, Z0 и Z1—корни квадратного уравнения
3я—3?*+Л = 0. (24)
Корни этого уравнения одного знака, но легко видеть, что
так как
о 2* 8 тс
Z0 = 2cos —, a z1 = 2cos—.
Поэтому
- _Л + |/"л2-^2 *о — 2 *
И, наконец, чтобы найти є, составляем уравнение или
є2 —0оє + 1=О. є найдется как корень этого уравнения
2
64
2.7t
перед корнем берем знак -J-, потому что ?0 = 2 cos — и, следо-
вательно, Є :
'+/&),-«=Г+'/'-(?У
= cos —4-rsin —= Є.
Переходим теперь к самому построению правильного семнадцати-угольника. Нам, следовательно, придется построить следукдцие пять отрезков:
^о-^--у, T)1 — — --, V0 — 2" И- К ^2~У -Ь 1 '
(У = С05Ї7:
ребуется^.
; поэтому самое є для построения не пот]
Построение производим следующим образом (черт. 6). Берем* окружность радиуса = 1 и проводим два взаимно перпендикуляр»
ных диаметра AB и CD. За положительное направление по горизонтальной оси примем от А к Ву так что вправо от О будем откладывать отрицательные отрезки. Радиус OA делим на четыре части и строим
OE = — -I;
65
тогда
EC=Voc> + oi»=yf i + l=lQZ.
Из E как из центра радиусом, равным EC9 делаем на горизонтальной прямой засечки F и F9 так что
EF=-^ и EP=^. 4 4
Затем из точек Fn F\ соответственно радиусам и FC и PC, делаем засечки g и g'. Тогда
OQ = OF+FQ=-OF+FQ = \ + ^ ^2 + 1=у2,
OGr= OF+ FG' = OF + FG = +)/(? ]2 + 1 Но-
Далее на ЛG как'на диаметре строим полуокружность, которая пересекает радиус ОС в точке H9 и из точки H делаем засечку OG'
К радиусом HK = —у- . Затем из точки К радиусом HK делаем
засечки L и U. Тогда
LO + OZ/ = LU = 2/Ш = OG' = у09 LO-OU= ОН" = A0-OG = OG =у2.
Следовательно, LO и OU — корни уравнения (24) и потому совпадают с Z0 и Z1 и так как LO^OU9 то
LO = Z0.
Деля LO пополам, получаем
клгх LO Z0 2тг
MO=^ = -f=cos-.
Восставляем в точке M перпендикуляр, который пересекает ок-ружность в искомой точке A1 (и Л1б). Дуга AA1= — • 66
Откладывая эту дугу по окружности, строим правильный сем-надцатиугольник.
5. Итак, мы убедились в том, что с помощью циркуля и линейки можно разделить окружность на р частей, где р — гауссово простое число.
Мы покажем теперь, что задача деления окружности на п частей выполнима для всякого /г, имеющего вид
п = 2*-p1pi...pk,
где Pi — различные простые числа вида 2m-f-l.
Для этого докажем сначала следующее предложение.
Если окружность может быть разделена (циркулем и линейкой) на а и на ? частей, и если а и ?— числа взаимно простые, то окружность можно разделить и на a-? частей. В самом деле, так как (a ,?) = l, то можно подобрать два таких целых числа а и Ь, что
a-a + ?.b= 1. Деля на # = a.?, получаем
~п~~ ? + a *
Чтобы построить — - ю часть окружности, нужно, следовательно, ть
1 и 1
а раз взять - ю часть и о раз — -ю часть, и сложить; все это выполнимо циркулем и линейкой.
Например, чтобы разделить окружность на 15 равных частей (я= 15 = 3-5), замечаем, что
(—3)-3 + 2-5=1 и
JL-А_ А 15"" 3 5 *
Таким образом, мы получим часть окружности, если из -^-
15 о
3
вычтем — ее части.
Точно так же для деления на 170 частей замечаем, что 170=17« 10, где (17, 10) = 1.
5* 67
Далее находим, что
3.17_5.Ю=1 и
1 _ 3 5
170"~10 17*
1 3 5
часть окружности получим, вычитая из — ее — ее частей.
Установленная выше теорема индуктивно обобщается на любое число попарно взаимно простых чисел.
Допустим, что умея разделить (циркулем и линейкой) окружность на Ot1, на а2, на Otn-1 частей, мы можем делить окружность на (I = OL1-OL2-...•Ot72-1 частей. Тогда, так как d и ат взаимно просты, а на d частей (по допущению) и на ат частей (по условию) мы делить окружность умеем, то по доказанной выше теореме сумеем разделить и на n = d-OLm = Ol1-Ol2... Qt7n-1-Ot7n частей. Этим теорема доказана.
Пусть п = 2л-р1-р2-...-рк.
Мы умеем делить циркулем и линейкой на 2, на 4, и вообще на любое число 2* частей. По доказанному ранее мы умеем разделить окружность и на р1У на р2, %..,рк частей, ибо все это гауссовы простые числа. И так как все эти числа взаимно просты, то мы сумеем разделить окружность и на число частей, равное произведению этих чисел, т. е. на п частей. Этим и доказана достаточность условия, необходимость которого была установлена нами выше (§ 4, 3).
Итак, нами полностью доказано следующее предложение: Для того чтобы было возможно циркулем и линейкой разделить окружность на п равных частей {построить правильный п-угольник), необходимо и достаточно, чтобы п было числом вида
n = 2«-Pl-p2-...-pk,
где a — произвольное целое положительное число или нуль, а Pu А» —> Pk — различные между собой простые числа вида 2т -f-1.
Редактор С, И. Новоселов Технические редакторы В. И. Иванов и А. Ф. Федотова Корректор М. М. Шулименко
Сдано в набор 7/III 1940 г. Подписано к печати 10/VII 1940 г. У четно-издательских листов 3,94. Печатных листов 4»/4. Тираж 5 тыс. Формат бумаги 84 X 108/32. Учпедгиз № 72.
