Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
В общем случае взятие целой части от элементарного числа всегда выводит его в новое измерение. Например,
w w = Lim f 1,0, 1,0, 1 '
2 _ 2 _ n^ w 12 2 2 ...y
Поэтому, если в записи (6) мы по-прежнему хотели бы считать, что порядок числа определяет место «цифры» С0 в позиционной записи, то теперь под «позицией» цифры мы должны понимать не только некоторый пункт среди линейно упорядоченной совокупности чисел, а более широко — некоторый пункт в бесконечномерном пространстве. Данный пункт совместно с информацией о знаках s(w)
является довольно существенной характеристикой элементарного числа. Тогда число, равное
H(A) = s(w) • 10p(w), (7)
назовем характеристикой числа A. Под нормированным числом будем понимать отношение исходного числа к его характеристике:
А = A /H(A),
Со(1) + + —2d) +...; ... Co (n) + + —2^ +..., ..!. (8)
10 100 10 100 J
А = Lim
Каждое из приближений А представляет собой рациональное число из интервала (0, 10).
Подведем итог. Запись элементарного числа в позиционной системе счисления выглядит так:
А = s(w) • 10p(w)fc0(w) + + C2w +... + Cv(w) + ...]. (9)
I 10 102 10v J
Теперь все готово для того, чтобы перейти к следующему разделу.
2. Позиционная система записи существенных чисел
Пусть исходное существенное число представлено в виде ряда s = А1 + А 2 +... + A w +... + Av + .... (10)
Ряд понимается как предел в смысле limit. В манипулировании данным рядом (без изменения его суммы) есть достаточно большая свобода. Объединяя или разбивая слагаемые на отдельные суммы, можно увеличивать или уменьшать скорость сходимости ряда. Кроме того, любой член можно уменьшить на некоторое число, увеличив на это же число другие его члены, и т.д.
Из сходимости ряда следует, что для любого Г > 0 найдется Л > 0, что для любых v > m + 1 > Л будем иметь неравенство
1Аm+1 + Аm+2 + ... + Av I < 1/Г. (11)
Здесь все числа Г, Л, m и v принадлежат продолженному натуральному ряду. Пусть Bm — сумма первых m членов ряда:
Bm = А1 + А 2 + ... + A m и H(m) — характеристика числа Bm. Попытаемся использовать H(m) в качестве характеристики самого существенного числа s. Для этого на величину m необходимо наложить дополнительные условия (их
смысл состоит в том, что частичная сумма B, должна быть достаточно представительной частью полной суммы s). Используем 1/H(,) как нормировочный множитель для s:
B,
s=
H(m) H(m) В новых обозначениях, где
H(m)
D0 =
H(,)
D1 =
V+1
H(m)'
... Do =
V+ 2
H^:
последняя запись несколько упрощается:
s = D0 + D1 +... + Dv +....
(12)
По своему построению первый член имеет структуру нормированного числа вида (8):
D0 = Lim
n—w
- 00)(1)
d10)
(1)
10
-...; -00)(n)
d10)(n) 10
+...
(13)
Верхний индекс в скобках совпадает с индексом у D0. Также по построению 0 < D0 < 10. Последовательность (10) из класса эквивалентности s можно выбрать так, чтобы D0 > 0, D1 > 0,...,D2 > 0,.... Кроме того, пользуясь свойством фундаментальности (11), номер , можно взять таким, чтобы имели место условия
0 < D1 < 1; 0 < D2 < 10Л...0 < Dw < 10-w+1,.... (14)
Данные условия обеспечивают иерархичность последовательности (12). Запишем приближения чисел (14):
D1 = Lim
n— w
D2 = Lim
n—w
(n)
d21) (n)
10
+..
102
d22) (n) d32) (n)
2 + —^.
10
2
103
и т.д.
Вернемся теперь к числу D0 в записи (13). Проведем с ним операцию, которую естественно назвать операцией округления. Примем по определению оператора <... > следующее равенство:
<D0 > = Lim(d 00)(1);... d 00)(n)...).
(15)
V
Разность D0 - < D0 > добавим к числу D1. В результате получим
D1 + D0- < D0
> = Lim
n^ w
d«
(1)
d10)
(1)
d«
(1)
d20)
(1)
10
100
+...;
(16)
Данное число заведомо меньше, чем 2. В крайнем случае цифры в приближении D1 могут быть одними девятками и цифры в приближении D0 - < D0 > также могут быть одними девятками. Тогда мы получим в пределе число 2. Дальнейшие действия сводятся к следующим. Если в одном из приближений (16) приближение превысило единицу, то единицу мы прибавляем к соответствующему приближению числа < D0 > в запись (15) и, естественно, отнимаем от приближения (16). Таким образом, мы добиваемся того, чтобы
