Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
В неархимедовом анализе ситуация сложнее. Здесь можно указать сколько угодно ограниченных сверху множеств, для которых точная верхняя грань существует. Однако возможна и противоположная ситуация: множество сверху ограничено, но точной верхней грани нет. (Для нижних граней ситуация аналогична.) Пусть, например,
XV = 1 --, V = 1, 2,... .
V
Данное множество ограничено сверху числом 1 и 1 — его точная верхняя грань. Ситуация аналогична классической. Примеры отсутствия верхней грани приведены далее. Рассмотрим одно достаточное условие существования верхней грани.
Теорема 15.1. Любая строго монотонно возрастающая ограниченная несчетная последовательность чисел, принадлежащих неархимедовой прямой, имеет точную верхнюю грань.
Требование монотонности можно ослабить, но совсем исключить нельзя. Действительно, последовательность
A v =
1 - — при V = 1, 2,...n,
V
1
- при V = w, w + 1,..
V
имеет тип 2 и ограничена снизу и сверху числами 0, 1. Однако точной верхней грани здесь нет. Перейдем к доказательству теоремы.
• Доказательство. Вначале предположим, что все члены последовательности суть элементарные числа и S — их верхняя грань:
А1 < A2 <...< Aт <...< Av <...< Av+m <...< S. (3)
Пусть
АV = LimrV(к), S = LimS(к), к = 1, 2, 3... .
кк
Зафиксируем к и рассмотрим последовательность
Г1 (к) <...< rm(к) <...< rv(к) <...< rv+m (к) <...< S(к). (4)
Последовательность принадлежит к типу 2 и состоит только из абсолютных рациональных чисел. Она монотонна, ограничена и по теореме классического анализа сходится в том смысле, как это понимается в классическом анализе. Следовательно, (4) является последовательностью Коши. Тогда по любому заданному рациональному числу е(к) можно найти, вообще говоря, бесконечно большой номер М(к) такой, что для любого v > М(к) и любых «натуральных» m будет иметь место неравенство
rv+ m (к) - rv (к) < е(к). (5)
Возьмем убывающую последовательность значений е(к), которая соответствует некоторому наперед заданному «натуральному» числу Г = Lim1/ е(к). Тогда последовательность номеров М(к) будет моно-
к
тонно возрастающей:
М (1) < М(2) <... < М(к) <....
Положим
Л = Lim М(к).
к
Число Л всегда можно заменить на большее, поэтому его можно считать «натуральным» с самого начала. (Здесь предполагается, что «натуральным» ряд не ограничен.) Пусть v > Л. Тогда при любом к имеет место неравенство (5) для числа Л, не зависящего от к. Поэтому в (5) можно перейти к пределу. В результате получим
1Аv+m — Аv 1 < ^р.
Следовательно, последовательность (3) является фундаментальной
и, значит, существует ее предел
s * = limit A V.
Легко доказать, что число s* и будет точной верхней гранью множества (3).
Рассмотрим второй случай, когда монотонная последовательность состоит из существенных чисел, принадлежащих неархимедовой прямой:
s 1 = limit A 1(m) < s 2 = limit A 2(m) <••• < sV = limit A V (m) <... < S. (6) mm m
Сделаем анализ. Предположим, что последовательность (6) сходится, т.е. объект
s * = limit sV = limit limit A V (m) (7)
v v m
существует. Например, если
a v (m) = - + 1 --, m V
то
sV = limit
m^
1 1 * 1 = 1 — и s = 1.
Возьмем последовательность диагональных членов. В данном случае она будет монотонной:
A 1(1) < A2(2) <...< Av(v) <...< S, (8)
так как A V (v) = 2 - 1/ v. Предел этой последовательности с пределом (7) не совпадает. Если же в (7) при фиксированных v переходить к подпоследовательностям по m (то есть увеличивать скорость сходимости к sV), то придем к ситуации, когда
s * = limit limit A V (m) = limit A V (v). (9)
v m v
Данная ситуация характеризуется тем, что дальнейшее увеличение скорости сходимости правую часть (9) уже не меняет.
Перейдем теперь к доказательству теоремы. Обратимся к неравенствам (6). Из классов эквивалентности sV выберем такие представители последовательностей AV (m), чтобы из (6) всегда следовала цепочка неравенств (8). Здесь мы попадаем в условия (3) и можем утверждать, что диагональный предел
