Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Например, a < b, если aV < bV при v > Л. Как обычно, считаем, что данная запись эквивалентна записи b > а, кроме того, a < b, если a < b и a ф b. В частности, число a считаем положительным, если a ф 0 и начиная с некоторого Л приближения a положительны, т.е. aV > 0 при v > Л. Имеет место
Теорема 5.3. Если a > 0, то начиная с некоторого номера v = Л выполняются условия aV > 0. Доказательство следует из определений. Обратное неверно. Например, limit 1/v = 0, хотя для любых v > 1
1/V > 0.
Рассмотрим теперь арифметические операции между существенными числами и абсолютными числами, которые заданы изначально.
Примем по определению, что
a + габс = limit(aV + Lim габс).
VV
Образуем теперь стационарную последовательность порядкового типа 2, каждый член которой равен Limгабс. Класс эквивалентно-
n
сти, в который входит данная последовательность, обозначим
как гсущ:
Гсущ limit Lim Габс.
сущ
V n
Очевидно, что
= г
сущ
Из данного равенства, конечно, не следует, что
габс = гсущ — 0сущ,
а следует только равенство
г — 0 = г
сущ сущ сущ
Например, 1абс и 1сущ — это различные числа: 1абс — изначально заданное натуральное число, 1сущ — класс эквивалентности (1), в который входит стационарная последовательность Lim^^. Здесь мы имеем такую же ситуацию, что и в области вещественных чисел. Ее можно представить таким образом. Если абсолютное, изначально заданное число попадает в мир существенных чисел и начинает с ним взаимодействовать, то оно как бы окрашивается от этого взаимодействия и начинает выглядеть уже как любое другое существенное число. Причем никакими обратными операциями «снять» приобретенную «окраску» — «окраску» существенности — уже невозможно. Поэтому далее, где это возможно, числа габс и гсущ мы различать не будем.
Обратимся теперь к ядрам вещественных чисел. Имеет место
Теорема 5.4. Ядра вещественных чисел принадлежат к области существенных чисел.
• Доказательство. Возьмем некоторое вещественное число a и последовательность его рациональных приближений гп : a = lim гп . Последовательность гп является последовательностью Коши. Этозна-чит, что для любого конечного натурального числа M найдется другое конечное натуральное число N, что для любых номеров р, g > N будут иметь место условия
Продолжим счетную последовательность гп по непрерывности до несчетной последовательности
Из условий (2), (3) следует фундаментальность несчетной последовательности. Необходимо отметить, что данный факт не зависит от того, используем мы ограниченную или неограниченную версию «натурального» ряда. Доказательство фактически такое же, как
гр — г& | < 1/M.
(2)
г1, г2... гп ,... г (w),... г (w2 ) ... г (v) ... г (m) ... .
Здесь
г (w) = Lim г (n),... г (v) = Lim г (v (n))... .
(3)
и доказательство теоремы 4.2. Таким образом, продолженная последовательность является фундаментальной и, следовательно, можно ввести существенное число
s = limit r (v).
V
Данное число совпадает с ядром вещественного числа a = lim rn. ¦
Операции между ядрами вещественных чисел и существенными числами в особых определениях не нуждаются и делаются по общим правилам.
Итак, ядра вещественных чисел выделяются из области существенных чисел одним признаком — условиями непрерывности (3). Для ядра вещественного числа требуется, чтобы несчетная последовательность его приближений была не просто фундаментальной, но такой, чтобы ее можно было получить непрерывным продолжением обычной (счетной) последовательности Коти.
Для произвольного существенного числа требуется только фундаментальность несчетной последовательности без принятия каких-либо условий непрерывности. Это обстоятельство чрезвычайно расширяет числовую область. В нее через стационарные последовательности входят все элементарные числа A эл = Lim rn:
Aсущ = limit Aэл = limit Lim rn.
V V n
Пространство элементарных чисел можно представить себе как каркас пространства существенных чисел. Пространство элементарных чисел не является полным. Пространство существенных чисел представляет собой пополнение пространства элементарных чисел и является уже полным. Любая несчетная фундаментальная последовательность элементарных или существенных чисел будет в этом пространстве сходящейся. (Доказательство относительно последовательностей существенных чисел будет дано ниже.) Таким образом, в целом пространство существенных чисел является непрерывным и бесконечномерным.
2. Понятие бесконечности в области существенных чисел
В области вещественных чисел определено понятие бесконечности. Потребность во введении аналогичного понятия есть и в области существенных чисел. Здесь, правда, возникает терминологическая трудность, связанная с тем обстоятельством, что в этой области есть актуальные бесконечно большие числа. Поэтому мы приведем
