Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Так как две кривые одного и того же семейства не могут пересекаться, то необходимо, чтобы дуга А0Н0С0 пересекала АпКпСи, либо чтобы А0К0С0 пересекала АпНяСп. Но если две дуги А0К0С0 и АпНлСп пересекаются, то их п-е предшествующие А_пК_пС_п и А0НйС0 также будут пересекаться. Следовательно, необходимо, чтобы дуга А0Н0С0 пересекала п-ю последующую или ?г-ю предшествующую дуги А0КпС0.
Но дуга А0К0С0, все ее предшествующие и все ее последующие принадлежат одной и той же инвариантной кривой второго семейства, представленной на рисунке на стр. 175 совокупностью кривых М3В0, МгВ3, МцВл, М2В4, МаВг.
Следовательно, дуга AqHqCo пересекается бесконечно много раз этой совокупностью кривых.
Две поверхности 2 и 2', которые проходят через замкнутую траекторию Т, имеют, следовательно, бесконечное множество других кривых пересечения.
Итак, на поверхности 2 имеется бесконечное множество гомоклинных двояко-асимптотических решений, что и требовалось доказать.
396. Пусть АйН0Са — какая-нибудь дуга асимптотической кривой пер вого семейства, и предположим, что эта дуга пересекает асимптотическую кривую второго семейства в двух крайних точках А0 и С0. Я говорю, что между точками А0 и С0 всегда будут другие точки пересечения с кривой второго семейства.
В самом деле, пусть AqKqCq — дуга кривой второго семейства, соединяющая точки А0 и С0.
Тогда либо две дуги А0Н0Сп и А0К0С0 имеют общие точки, отличные от их концов, и теорема окажется доказанной.
Либо же эти две дуги не имеют другой общей точки, кроме их концов А0 и С0; тогда две дуги ограничивают область а0, аналогичную той, которую мы рассмотрели в конце предыдущего параграфа; приложимы те же самые рассуждения, и мы можем заключить, что дуга AqHqCqпересекает бесконечно много раз кривую второго семейства.
Следовательно, на асимптотической кривой первого семейства между какими-нибудь двумя точками пересечения с кривой второго семейства имеется бесконечное множество других точек пересечения.
На любой асимптотической поверхности между двумя любыми двоякоасимптотическими решениями имеется бесконечное множество других двояко-асимптотических решений.
22 А. Пуанкаре, т. II
338
Новые методы небесной механики. III
Мы не имеем еще права заключить, что двояко-асимптотические решения всюду плотны (иЬега11(Нс111) на асимптотической поверхности, но это кажется вероятным.
Точки пересечения двух асимптотических кривых можно разделить на две категории. В самом деле, асимптотическую кривую можно пробегать в двух противоположных направлениях; мы будем рассматривать направление как положительное, если идем от точки к ее последующей. Пусть тогда А —точка пересечения двух кривых, ВАВ', САС' —две дуги асимптотических кривых, пересекающиеся в А. Предположим, что ВАВ' принадлежит первому, а САС' — второму семейству и что, обходя кривые в положительном направлении, мы идем из А в В' и из А в С'. В зависимости от того, будет ли направление АВ' справа или слева от АС', точка пересечения А будет первой или второй категории.
Пусть при этих условиях А0Н0С0 — дуга первого семейства, пересекаемая в А0 и С0 дугой А0К0С0 второго семейства. Какой бы категории пи принадлежали Л0 и С0, совокупность двух дуг А^Н0С0КпАй образует замкнутую кривую. Если две дуги не имеют другой общей точки, кроме их концов, то эта замкнутая кривая не имеет двойной точки и ограничивает область а0. Если бы две дуги имели другие общие точки, кроме их концов, и если бы, например, две дуги АдНдЙоН^Сд и А0К0О0К’0Св пересекались в Л0, то мы заменили бы точки А„ и С0 точками А0 и П0, расположенными между А0 и С0, а дуги АдН0Сд, А0К0С0 двумя дугами А0Н0О0 и А0К„О0, и таким образом продолжали бы до тех пор, пока не пришли бы к двум дугам, не имеющим другой общей точки, кроме их концов.
Итак, предположим, что две дуги ограничивают область а„. Согласно тому, что мы только что видели, дуга А0Н0С0 должна пересечь бесконечно много раз асимптотическую кривую второго семейства; следовательно, необходимо, чтобы кривая второго семейства проникала бесконечно много раз внутрь области ад, и она должна выйти из нее бесконечно много раз. Она может войти в нее или выйти из нее, только пересекая АдН0С0, ибо она не может пересечь дугу А0К0С0. составляющую часть кривой также второго семейства. Но ясно, что точки, в которых она проникает внутрь области, и точки, через которые она выходит из нее, не будут принадлежать одной и той же категории.
Итак, между любыми двумя точками пересечения двух кривых имеется бесконечное множество других точек, принадлежащих первой категории, и бесконечное множество других точек, принадлежащих второй категории.
Обозначим через (1), (2), (3), . . . последовательные точки встречи кривой второго семейства и дуги АдН0С0, отсчитанные в порядке, в котором мы встречаем их, следуя по кривой второго семейства в положительном направлении. Они будут попеременно принадлежать двум категориям. Изучим порядок, в котором мы встречаем их, следуя по дуге А0Н0С0.
Двояко-асимптотические решения
339
Этот порядок не может быть совершенно произвольным, и некоторые последовательности исключаются, например следующие:
