Как решать задачу - Пойа Д.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы удостовериться в присутствии какого-либо предмета или в том, что он обладает определенными качествами, мы имеем обыкновение осмотреть и ощупать его. Мы предпочитаем восприятие при помощи двух различных чувств; так же точно мы предпочитаем убеждение, основанное на двух различных доказательствах: нельзя ли получить тот же результат иначе? Нас, конечно, в большей мере устроит короткое интуитивное рассуждение, чем длинное и тяжеловесное: нельзя ли усмотреть его с первого взгляда?
Одна из первых и главных обязанностей учителя состоит в том, чтобы не создать у учащихся впечатления, что
24
математические задачи мало связаны одна с другой и не связаны вообще больше ни с чем. Нам представляется естественная возможность исследовать, как связана наша задача с другими, когда мы оглядываемся назад на ее решение. Учащиеся найдут, что, действительно, очень интересно снова окинуть взглядом решение, если они честно затратили усилия, чтобы его получить, и сознают, что плодотворно поработали.
Тогда им захочется узнать, что они еще могут получить при помощи уже затраченных усилий и как сделать, чтобы работа всегда была столь же плодотворной. Учитель должен поощрить учащихся придумать случаи, к которым они снова могли бы приложить использованный метод или применить полученный результат. Нельзя ли использовать полученный результат или метод решения в какой-нибудь другой задаче?
14. Пример. В пункте 12 учащиеся, наконец, получили решение: если три ребра прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину, суть а, 6, с, то диагональ есть
Va2 + b2 + c2.
Нельзя ли проверить результат?Учктелъ не может ждать удовлетворительного ответа на этот вопрос от неопытных еще учащихся. Однако учащиеся должны очень рано убедиться на опыте, что задачи «в буквах» обладают большим преимуществом перед задачами с числовыми данными: если задача решается «в буквах», то ее результат может быть подвергнут ряду испытаний, которым не поддается результат задачи «в числах».
Несмотря на всю свою простоту, наш пример может иллюстрировать сказанное. Учитель может задать несколько вопросов, касающихся полученного результата, на которые учащиеся легко ответят «да», в то время как хотя бы один ответ «нет» вскрыл бы серьезный дефект нашего результата.
«Все ли данные вы использовали? Входят ли все данные a, by с в нашу формулу для диагонали?»
«Длина, ширина, высота играют одинаковую роль в нашей задаче; наша задача симметрична по отношению к a, by с. Симметрично ли относительно а, &, с выражение, полученное вами для диагонали? Останется ли оно тем же самым, если поменять местами а, &, с?»
«Наша задача — стереометрическая: найти диагональ прямоугольного параллелепипеда, если даны его три
25
измерения а, 6, с. Эта задача аналогична планиметрической задаче: найти диагонаЛь прямоугольника, если даны его два измерения: а, Ь.
Аналогичен ли результат «пространственной» задачи результату «плоской» задачи?»
«Если высота с начнет уменьшаться и, наконец, исчезнет, наш параллелепипед превратится в прямоугольник. Если вы положите с=0 в вашей формуле, получится ли правильная формула для диагонали прямоугольника?»
«Если высота с начнет увеличиваться, то и диагональ будет увеличиваться. Следует ли это из нашей формулы?»
«Если все три измерения а, &, с параллелепипеда возрастут в одно и то же число раз, то и диагональ возрастет в то же число раз. Если подставить в нашу формулу вместо я, 6, с, соответственно, 100а, 1006, 100с, то в результате этой подстановки длина диагонали должна будет умножиться на 100. Так ли это на самом деле?»
«Если а, 6, с, измерены в метрах, наша формула дает длину диагонали тоже в метрах. Если все данные размеры перевести в сантиметры, формула должна будет остаться правильной. Так ли это на самом деле?»
(Два последних вопроса по существу равносильны, см. Проверка по размерности.)
Эти вопросы полезны с различных точек зрения. Во-первых, на сообразительного учащегося производит впечатление тот факт, что наша формула выдержала столь многочисленные испытания. Он был и ранее убежден, что формула верна, так как он тщательно проделал ее вывод. Но теперь он убежден в этом в значительно большей степени, причем его убеждение имеет совершенно иной источник, а именно: нечто вроде «экспериментальной очевидности». Затем благодаря вышеприведенным вопросам детали формулы приобретают новый смысл и сопоставляются с новыми разнообразными фактами. Поэтому возрастает вероятность того, что формула не будет забыта. Наконец, эти вопросы легко могут быть перефразированы применительно к аналогичным задачам.
Приобретя некоторый опыт в решении подобных задач, сообразительный учащийся воспримет лежащие в основе этих вопросов общие идеи, т. е. использование, всех существенных данных, изменение данных, симметрию, аналогию. Если он приобретет привычку проводить всякий раз исследование в этих направлениях, то это будет означать
26
существенный шаг вперед в овладении искусством решения задач.
Нельзя ли проверить ход решения? В трудных и важных случаях может оказаться необходимым снова, шаг за шагом, проверить весь ход решения. Однако обычно достаточно выбрать для проверки несколько «узловых» пунктов. В нашем случае можно рекомендовать рассмотреть дополнительно вопрос, за который не стоило браться, пока решение задачи еще не было получено: Можете ли вы доказать, что треугольник со сторонами х, у, с — прямоугольный? (См. конец п. 12.)
