Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
б. Доказать, что если вокруг четырехугольника можно описать окружность и в него можно вписать окружность, то его площадь равна корню квадратному из произведения его сторон.
6. Внутри равнобедренной трапеции ABCD дана произвольная точка М. Доказать, что из отрезков MA1 MC1 MB1 MD можно построить четырехугольник.
7. В параллелограмме проведены биссектрисы углов между диагоналями. Доказать, что точки пересечения биссектрис со сторонами параллелограмма суть вершины некоторого ромба.
8. Доказать, что при пересечении биссектрис внутренних углов параллелограмма получается прямоугольник, диагонали которого равны разности двух смежных сторон параллелограмма.
9. Доказать, что из всех четырехугольников с данными сторонами наибольшую • площадь имеет четырехугольник, вокруг которого можно описать окружность.
10. Доказать, что прямая, соединяющая точки пересечения непараллельных сторон трапеции и ее диагоналей, делит основания трапеции пополам.
11. На сторонах выпуклого четырехугольника построены подобные равнобедренные треугольники так, что третьи вершины двух из них (противоположных друг другу) находятся вне четырехугольника, а двух других — внутри него. Доказать, что эти четыре вершины служат вершинами параллелограмма.
12. Доказать, что произведение длин перпендикуляров, опущенных из какой-нибудь точки окружности на две противоположные стороны вписанного в нее четырехугольника, равно произведению длин перпендикуляров, опущенных из той же точки на две другие стороны этого четырехугольника.
13. Доказать, что из всех четырехугольников с данными диагоналями а и b и данным углом а между ними наименьший периметр имеет параллелограмм.
14. Доказать, что для четырехугольника ABCD соотношение AB2 •OC-OD -f--f ВС2 - OA - OD+ CD* • OA - OBArAD2 -OB-OC = AC-BD (OB - OD -f ~\-ОА • OC)1 где О — точка пересечения диагоналей.
16. Через вершину А параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD и стороны ВС и CD соответственно в точках Е, F и К. Доказать, что
16« На сторонах квадрата ABCD от его вершин отложены отрезки AA1 = -—BB1 = CC1 = DD1 = X. Доказать, что A1B1C1D1 — квадрат. При каком значении X сторона квадрата i4,?tC,Dt будет наименьшей?
AB-BC AD CD
BE ED *
AE2 = EF - EK.
206
Планиметрия. Гл. XVIL ЗАДАЧИ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
17. Пусть OP9 OQ9 PM9 PMr9 QM9 QM' — шесть твердых стержней, соединенных друг с другом с помощью шарниров, причем точка О неподвижна. Доказать, что если точка M описывает окружность, проходящую через точку О, то точка Мг описывает прямую линию (инверсор Понселе; (черт. 57).
18, Доказать, что сумма площадей параллело-S^*"* ^*""* граммов, построенных на двух сторонах
f треугольника, равна площади параллело-
/ \ грамма, построенного на третьей стороне
/ а треугольника так, что его вторая сторона
/ /V /\ равна и параллельна отрезку, соединяю-
\ 2^-^^^ / V/ І щему общую вершину двух первых парал-
^ / "/м лелограммов с точкой пересечения продол-
^ / /ґ/^ жений их сторон, не имеющих общих точек
\ //^^ со ст°ронами треугольника.
4S.^ JtT^ Д°казать> что если на сторонах четырех-
--Q угольника построить квадраты, то центры
этих квадратов образуют четырехугольник, Черт. 57. диагонали которого равны и взаимно-пер-
пендикулярны.
20, Доказать, что если четырехугольник, длины сторон которого a, bt C9 d9 вписан в окружность радиуса R9 то ad {a YAR2 — d2 -f- d ]/ AR2 -—a2)4~ -\-bc (b Y AR2 — C2 + с YR2^T2) — ab (а Y AR2 — b2 + b У AR2 — a2) + cd (с У AR2 — d2 + d У AR2 — c2).
21.' Дан четырехугольник ABCD9 в который можно вписать окружность и вокруг которого можно описать окружность. Доказать, что сумма расстояний центра описанной окружности от сторон четырехугольника равна сумме радиусов окружностей, описанных около треугольников AMB9 BMC9 CMD9 DMA9 где M — точка пересечения диагоналей четырехугольника.
22. Середины сторон AB и CD9 ВС и DE выпуклого пятиугольника соединены отрезками. Середины полученных отрезков вновь соединены. Доказать, что
отрезок, их соединяющий, параллелен отрезку AE и равен \^ AE.
23. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Доказать, что отрезок прямой между непараллельными сторонами точкой пересечения диагоналей делится пополам.
24. Доказать, что вершины подобных равнобедренных треугольников, построенных на сторонах четырехугольника с перпендикулярными диагоналями, служат вершинами четырехугольника с равными диагоналями (Нейберг).
25. Доказать, что сумма квадратов сторон четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей, сложенной с учетверенным квадратом расстояния между серединами диагоналей (Эйлер).
26. Через точку B1 в которой пересекаются две противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, проведена к окружности касательная BT(T—точка касания). Доказать, что если одна диагональ четырехугольника параллельна касательной, то другая диагональ делит отрезок ВТ пополам.
27. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон, равен полусумме двух других сторон, то эти последние стороны параллельны.
