Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
a =V(a2-a3f + (?- b3)\ b = Y(az — a^+jib3— b,)\ с = Y(ax — a2)2+ Q1- b2f, и вычислить его площадь.
52. Рассмотрим три тройки действительных чисел:
O1, Ьг, C1;
#2» ^2» ^2»
#3» Ь3, C3,
причем
0 АС3 + а2Ь3Сх + афхС2-a2p2Cl -а2ЬгС3-^1O3C2 Ф 0- •
Доказать, что существует треугольник, длины сторон которого
a = Yin* - а3у + (Ь2 — Ь3У + (с2~^у, Ь = Y(a3 - a,)* + (b3 - b,f + (сг - C1)K с = Y(Ci1 - a2Y + (h - b2Y + (C1 - C2J, и вычислить его площадь.
53. Определить сторону правильного треугольника, зная, что расстояния от точки, лежащей внутри этого треугольника, до его вершин равны a, b и с.
54. Высота, биссектриса и медиана треугольника, проведенные из его вершины, делят внутренний угол треугольника на 4 равные части. Найти углы треугольника.
55. В треугольнике со сторонами а, Ь, с проведены высоты AL, BM и CN. Определить отношение площади треугольника MNL к площади треугольника ABC.
56. Вычислить стороны треугольника и его площадь, если даны: радиус г вписанного круга, радиус R описанного круга и высота ha.
§ 1. ТРЕУГОЛЬНИК
183
67. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна а, а один из углов его равен 144°. Найти площадь треугольника, не применяя таблиц.
58. Найти стороны прямоугольного треугольника, зная его катет Ъ и проекцию с* другого катета на гипотенузу.
59. Определить углы треугольника, зная, что медиана и высота этого треугольника, проведенные из вершины A1 делят угол А на три равные части.
60. В треугольнике радиусы описанного и ?писанного кругов равны R и г. Найти отношение площади этого треугольника к площади треугольника, образованного точками касания вписанного круга.
61. Из произвольной точки M1 взятой внутри правильного треугольника ABC1 проведены перпендикуляры MD1 ME и MF соответственно на стороны BC1 CA и AB. Найти отношение
MD+ ME+MF BD + CE+ AF 9
62. В треугольнике ABC определить сторону BC1 если AB + AC ^m1 а проекция биссектрисы угла А на сторону AB равна р.
63. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB = C1 AM2 + BN2 = m2, где AM и BN — биссектрисы острых углов. Определить длину MN.
64. Из вершины С прямого угла треугольника ABC опущен перпендикуляр CD на гипотенузу. Из точки D на катеты опущены перпендикуляры DE = р и DF = q. Определить длину гипотенузы.
65. В треугольнике ABC определить биссектрису AD1 если известно, что AC + CD = m, AB —BD = п.
66. В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведена высота AD1 на ней и на катетах отложены отрезки AA' = BB' = CC = 1. Найти площадь треугольника А'В'С, зная, что AB = Z1 AC = \.
67. Вычислить стороны Ъ и с треугольника, зная, что а = Ь, Ъ — с = 2, В = 2С
?Q _ 1
68. В треугольнике ABC угол C= 120° и Jq- % • Определить угол В.
69. На сторонах треугольника ABC взяты точки P1 Q1 R такие, что AR : RB = v, BP : PC = X, CQ : QA = р,. Вычислить отношение площади треугольника PQR к площади треугольника ABC.
70. На сторонах AC1 CB и AB треугольника ABC отложены соответственно
отрезки AK = ^AC1 CL = jCBt ВМ = ~ВА. Точки пересечения AL1 BK
и CM служат вершинами треугольника, площадь которого равна 10. Найти площадь треугольника ABC.
71. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведены высота CH и биссектриса CL. На стороне CB (ВС > CA) отложен отрезок CP = CA. Прямые AP и CH пересекаются в точке К. Найти длину отрезка KL1 если дано AC = O1 BC = а.
72. Через вершину В прямого угла прямоугольного треугольника ABC проведена прямая /, не пересекающая гипотенузы. Из вершин A1 С опущены перпендикуляры AA1, CC1 на прямую I (точки A1 и C1 лежат на примой /). При каком значении угла ср = ^nCBC1 площадь трапеции АіАСС^ будет наибольшей?
73. В равнобедренном треугольнике длины боковых сторон равны а каждая, а длина отрезка прямой, проведенного из вершины треугольника к его основанию и делящего угол между равными сторонами в отношении 1 : 2, равна t. Определить площадь этого треугольника.
74. Вычислить площадь треугольника, зная его стороны:
а = (у+ Z) (yz — r2)9 b = y(r2 + z2), c = z(r2 — у2),
184
Планиметрия. Гл. XVI. ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ
75. Найти углы прямоугольного треугольника, в котором отношение радиуса вписанной окружности к радиусу описанной окружности наибольшее.
76. С вершины башни высотой 30 м виден мост, направление которого лежит в одной вертикальной плоскости с осью башни. Лучи зрения, идущие к концам моста, составляют с вертикалью углы в 60° и 45°. Определить длину моста.
77« Определить площадь треугольника, если даны а и Ъ — длины его сторон и t — длина биссектрисы угла между этими сторонами.
78. Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC9 точка E — на стороне AC9 точка F—на стороне BC9 причем
AD : DB = BF : FC = СЕ : EA = т : п.
Зная, что площадь треугольника ABC равна s, определить площадь тре-угольника> образованного прямыми AF9 BE и CD.
79. В треугольнике со сторонами а9 Ъ9 с через точку пересечения биссектрис проведены прямые, параллельные сторонам треугольника. Вычислить длину отрезков этих прямых, заключенных внутри треугольника.
