Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
таким образом, точка, в которой эта фиксированная прямая пересекает IF, но поскольку прямая IF может вращаться вокруг F, принимая все возможные положения, точка К описывает всю прямую (А).
Геометрическое место точек M и N. Абсциссы точек M и N равны ± HM,
а2 к2 их ординаты равны у; на основании предыдущего х2 = —у2-\-а* или "^2--
v2
--:<г'—== * — это Уравнение определяет гиперболу с вершинами а и В; F— один
из фокусов. Ординаты точек M и N равны ординате точки К> а так как последняя но доказанному принимает все действительные значения от — со до -}- оо, то точки M и N описывают целиком обе ветви указанной гиперболы. Прямая (А) для этой гиперболы является директрисой, соответствующей фокусу F.
На основании предыдущего, ОТ й ОТ' асимптоты этой гиперболы. _ _
3\ Вычисление OJ. Из прямоугольного треугольника IMJ имеем IJ •IH-— Z= IM2 = R2; отсюда находим IJ, а затем из соотношения OJ = OI-\-IJ находим
_ г2_а2
OJ = - --— .
У
Фиксированные точки окружности 'IMJ). Пусть у — одна из точек, в которой окружность (IMJ) пересекает ось х'Ох. Из прямоугольного треугольника UJ
___ _ _ q2 q2 _q2
находим О?2 = — 01-OJ = --^2- у •--— = с2\ значит, окружность (IMJ)
проходит через точку F и точку F', симметричную F относительно О (т. е. через фокусы гиперболы).
Касательная в M к (Г). Окружность (IMJ) проходит через F и F'; значит, MJ есть биссектриса угла F'MF (сделать чертеж!) и потому касается (F) в точке М; отсюда следует [так как MJ касается в точке M и окружности (C)J, что окружность (С) касается гиперболы в точке M (аналогично и в N).
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ 649
4°. Из предыдущего следует, что:
1°. любая окружность, центр которой лежит на мнимой оси гиперболы и которая касается этой гиперболы, видна из любого фокуса под углом, равным тому углу между асимптотами гиперболы, в котором не лежит эта гипербола;
2\ каждая такая окружность высекает на асимптотах хорду, равную длине действительной оси гиперболы.
95. А. 1°. Геометрическое место F, если известна директриса и две
точки. Пусть Hx и H2 — проекции на (А) точек Af1 и M2. Так как ^ = е и
M2F FMx M1H1
= е, то Р\. = 1 . Предположим сначала, что прямая MiAf2 не парал-
Af2tf2 ' FM9 M9H
лельна (А) и пусть Z — точка пересечения Al1Af2 и (А). Тогда ясно, что точка F расположена на окружности (С), двумя диаметрально противоположными точками которой является точка Z и точка, гармонически с ней сопряженная относительно
точек Al1 и Af2 ^ибо ^ 1^1- = Обратно: пусть Z7—точка (С), не лежащая
на (А). Существует линия 2-го порядка, проходящая через Af1, имеющая фокус F и соответствующую директрису (А); эта линия пройдет и через Af2, ибо, полагая А4 * " FM1 IM1 M1H1 ЛА 17
-,, гт — е, будем иметь -ETJT- = тт/- = ., ' , откуда „~ = е. Таким обра-MxH1 J JM2 ZAf2 M2H2 J M2H2 r
зом, геометрическое место точек F состоит из окружности (С), за исключением точек этой окружности, расположенных на (А). Выше мы предполагали, что Af1Al2 не параллельна (А). Если Af1Al2U(A), то Al1ZZ1 = Af2ZZ2, значит FMx = FM2 и геометрическое место точек F есть медиатриса отрезка Af1Af2, за исключением точки пересечения этой медиатрисы с (А).
2°. Приложение. Если линия второго порядка с директрисой (А) должна пройти через данные точки Af1, Al2, Af3, то ее фокус F должен быть расположен и на окружности, которую описывает фокус F линий второго порядка, проходящих через Mx и Af2 и имеющих директрису (А) (соответствующую фокусу F), и на окружности, которую описывает фокус F линий второго порядка, проходящих через M2 и Af3 и имеющих директрису (А). Фокус F должен быть точкой, общей этим окружностям. Если линия второго порядка с данной директрисой (А) должна проходить через две данные точки Af1 и Af2 и должна касаться в точке Al2 данной прямой (T) (проходящей через Af2), то одна из указанных выше окружностей оказывается окружностью, построенной на FM2 как на диаметре, где F — точка пересечения (А) и (T) [если (T)W(A), то точка Al2 будет вершиной фокальной оси линии и окружность с диаметром FM2 вырождается в прямую, проходящую через Al2 перпендикулярно (А)].
В. 1°. Геометрическое место фокусов F эллипсов (E). Касательная в S к (E) есть прямая SS' и, значит, геометрическое место (F) есть окружность (7) с диаметром SS' (за исключением точек .S и .S').
2°. Эллипсы (E), проходящие через данную точку М. Имеется столько возможных положений для фокуса F эллипса, удовлетворяющего условию задачи, сколько имеется общих точек у окружности (7) — геометрического места фокусов эллипса (E) и у окружности (С)— геометрического места фокусов F эллипсов, проходящих через точки .S и Af [с данной директрисой (А)]. В силу того что все эллипсы (E), удовлетворяющие условию задачи, обладают осью симметрии (6), проведенной через .S параллельно (А), можно предположить, что точка Af расположена по отношению к (о) с той же стороны, что и (А). Так как, с другой стороны, не существует эллипсов (E), проходящих через точки, расположенные по отношению к (А) в полуплоскости, в которой не лежит S, то можно предположить, что Af лежит между (о) и (А). Пусть Z — точка, в которой SM пересекает (А), и точка /, гармонически сопряженная с ней относительно S и Al; пусть (С) окружность с диаметром IJ. Точка F должна лежать и на окружности (7) и на окружности (С). Для того чтобы изучить взаимное расположение этих окружностей, произведем инверсию (S, SS'2). Окружность (7) перейдет в прямую (А); образом Z1 точки Z будет точка пересечения SI с (7). В силу сохранения гармонизма при инверсии точка Al1 (образ Af) будет серединой Z1Z1 (Jx — образ /). Окружность (Cx) [образ (С)] будет окружностью с диаметром I1Jx, иначе окружность с центром Al1, проходящая через Ix.
