Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Геометрическое место центров С.
Пусть (Af1) — прямая, параллельная (А) и
ы
расположенная на расстоянии -^- от (А)
над этой прямой. Если точка прикосновения (7) с (O1) есть [х, то CT=C[j.,
bd п
oha —--j--; мы видим, что расстояния от С
до точки о, и до прямой (о*,) равны между собой; значит, точка С лежит на параболе с фокусом о, и директрисой (d]). Геометрическое место точек С есть дуга этой параболы, расположенная над прямой (А) и ограниченная точками PhQ. Аналогично доказывается, что геометрическое место центров С окружностей (7') образовано двумя дугами параболы [расположенными над прямой (А)] с фокусом O1 и директрисой (d[}f где O1 и (<ij) симметричны O1 и (^1) относительно (А). Если мы
рассмотрим параболу (г.) с фокусом O1 и директрисой (^1), то в целом геометрическое вместо центров окружностей (7) будет состоять из дуги этой параболы, расположенной над (А), и дуг, симметричных относительно (А) тем, которые расположены под прямой (А).
4°. Огибающая окружности, вписанной в треугольник ABC. Окружность, вписанная в треугольник ABC, есть окружность UVW. В инверсии (Р, Ad2) эта окружность преобразуется в окружность, проходящую через точки и, V, Q'; эта окружность касается в точке Q' прямой QQ' [прямую QQ' будем в дальнейшем называть прямой (A'') — черт. 196]. Геометрическое место центров окружностей (uvQ')
Черт. 196.
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
603
есть полупрямая (X), образующая с (Д') угол 6'= arctg ^-; значит, ее огибающая
состоит из полупрямой Qy и другой полупрямой (X1), образующей с QY угол
26'== arctg— — это продолжение полупрямой O1Q. Отсюда следует, что огибающая
окружностей, вписанных в треугольник ABC, состоит из полуокружности с диаметром PQ и дуги окружности, ограниченной точками P и Q, касающейся в точке Q прямой X1Q. Эта дуга (Z1) имеет центр P1, расположенный на медиат-
4 S
рисе отрезка PQ под прямой (Д), причем OF1 = -~ d; радиус этой дуги равен -r d;
аналогично, огибающая окружностей, вписанных в треугольник ABC1 есть полуокружность с диаметром PQ и дуга (Z1) окружности с центром Pj1 симметричным Fx относительно (Д), проходящая через точки PnQ [берется дуга над (Д)].
Геометрическое место центров /. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается одновременно дуги (Z1) и полуокружности с диаметром PQ. Геометрическое место / ее центров есть, следовательно, дуга эллипса (E) с фокусами О и Fx, большая ось которого -^d. Аналогично окружность' вписанная
в треугольник ABC, касается одновременно дуги (Z1) и полуокружности с диаметром PQi геометрическое место ее центра есть дуга эллипса (E') с фокусами О и P1 и большей осью -gd. Итак, геометрическое место точек / состоит из части эллипса (E) с фокусами О и Fx и большей
осью ~ d, расположенной над прямой (Д), и части, о
симметричной относительно (Д) дуге этого эллипса, расположенной под прямой (Д).
Фиксированная точка С/. Точки U1 V1 Q преобразуются инверсией (Р, Ad2) в точки и, v, Q, расположенные на одной прямой — биссектрисе угла (Д, Д'). Значит, точки Р, U, V, Q расположены на одной окружности, центр которой есть точка 9, в которой медиатриса отрезка PQ пересекает прямую Quv (черт. 197). Медиатриса отрезка UV проходит, следовательно, через точку Q1 но эта медиатриса есть прямая Cl — биссектриса угла АСВ; значит, прямая Cl проходит через фиксированную точку 9. Аналогично, рассматривая точки P1 U', V', Q' и прямую CF, установим, что CF проходит через фиксированную точку Q'. Прямые Cl и CF проходят через фиксированные точки 9 и 9/, которые мы уже имели в п. 2°.
5°. Огибающая прямых AC и ВС. Так как точки P1 U1 V1 Q лежат на одной окружности, то медиатрисы отрезков PV и QU суть прямые А9 и BQ. Значит, AV и BU симметричны, прямым AP и BQ относительно прямых AQ и BQ, проходящих через фиксированную точку 9. Расстояния от точки 9 до AC и ВС, значит, постоянны и равны d; эти прямые AC и BC1 следовательно, касаются окружности (Q) с центром 9 и радиусом d. Прямая AC огибает четверть OQx окружности, прямая ВС —четверть OP1; аналогично прямые AC и ВС касаются окружности (9J) с центром 9J и радиусом d. Огибающая AC — дуга OP1Q1, а огибающая ВС — дуга OQ1P1; каждая из этих дуг равна трем четвертям полной окружности.
6°. Огибающая прямых IU и IV. Прямые AC и V9 симметричны прямым .4P и 9Р относительно 9А; значит, угол между ними равен ~ (mod те). Но IV±AC;
значит, прямые IV и AC симметричны относительно QV. Значит, расстояние от 9 ло IV равно расстоянию от 9 до АС; оно, значит, постоянно и равно d; прямая IV также касается окружности (Q). То же самое можно повторить и относительно прямой IU. Итак, прямые IU и IV касаются окружности (9). Огибающая прямых IU—четверть OQi дуги окружности (Q)1 огибающая IV—¦ четверть OP1 дуги этой окружности. Аналогично устанавливаем, что прямые FU' и FV имеют огибающими дуги Q[P1O и 0Q[p[ окружности (Q'), каждая из которых составляет ~ полной окружности.
604 Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
