Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
4°. Построение (С), если известна точка Я. Точка P есть точка радикальной оси окружностей (С) и (О), а потому она имеет одну и ту же степень
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
589
относительно этих окружностей: РН2~РА - PB. Это соотношение определяет точку Н\ ее можно построить, например, так: проводим через точку P касательную PT к окружности (О) и от точки P откладываем отрезок PH=PT. Центр С окружности (С) расположен, с одной стороны, на окружности (О), с другой стороны — на перпендикуляре, проведенном через точку H к прямой AB.
5°. Изучение CI и CJ. Пучок (Cl, CJ, СО, CH) гармонический, а так как CI _[_ CJ, то CI и CJ—биссектрисы углов, образованных прямыми (A) и CH
Касательные к (С), перпендикулярные (Д). Касательные к (С), перпендикулярные (А), на основании предыдущего, суть прямые, симметричные прямой (D) [касающейся окружности (С) в точке H] относительно прямых CI и CJ. Следовательно, расстояние от / до касательной, симметричной (D) относительно Cl, равно ОТ, эта касательная к окружности (С), значит, постоянно касается также окружности с центром / и радиусом OI = а; аналогично и вторая касательная к (С), перпендикулярная (А), касается окружности радиуса а с центром /.
60. 1°. Геометрическое место точек /. Четырехугольник ABDC по построению — параллелограмм; его диагонали — AD и ВС; значит, /— центр этого параллелограмма (черт. 175). Соединим точку / с центром О окружности (О). Прямая OI будет параллельна (А) и (A') и будет проходить от этих прямых на равных расстояниях, так как она проходит через середину ВС и через середину О диаметра (О), соединяющего точки о и о' прикосновения касательных (А) и (A') к окружности (О). Центр / этого параллелограмма лежит на прямой (D0), параллельной прямым (D)
и (D') и проходящей на равных расстояниях от них; всякая точка прямой (D0) может быть точкой /, так как для этого надо только выбрать касательные (А) и (A') параллельными 01. Итак, геометрическое место точек / есть прямая (D0), параллельная (D) и (D'), которая пересекает OHH' в точке H0 такой, что OH0 = 70 мм.
2°. Поляра точки / относительно (О). Поляра (J) точки / перпендикулярна OU а следовательно параллельна диаметру со', соединяющему точки прикосновения касательных (А) и (A') к окружности (О). Так как точка / описывает прямую (D0), поляра точки / относительно (О) вращается вокруг фиксированной точки K0 — полюса
_ _ 90
прямой (D0) относительно (О). Имеем: OKo * OH0 = R2 = ЗО2, откуда OK0 = у- мм.
3\ Геометрическое место полюсов тип прямых AD и ВС относительно окружности (О). Пусть т и я— полюсы прямых AD и ВС относительно (О); прямые От и On соответственно перпендикулярны AD и ВС. Рассмотрим пучок I (О, H0; А, В); он гармонический, так как AB^OI и прямая (D0) проходит через середину AB. Следовательно, пучок прямых О (Ь, K0; т, п) также гармонический, так как он образован перпендикулярами, опущенными из точки О на прямые первого пучка. Отсюда следует, что на поляре (/) прямые OK0, От, On высекают равные отрезки, иначе K0 — середина тп. Можно сказать и так: точки тип симметричны относительно точки Ко', с другой стороны, о есть полюс прямой (А), т — полюс прямой AD, значит от — поляра А и полюс h прямой (D) относительно (О) лежит на этой поляре. Точка h определяется из соотношения Oh OH= R2 = ЗО2, Oh = 18 мм Точка h фиксирована и лежит на одной прямой
18-52
К0т IzK0 ,7—- 7 ОЛ 60 _
отсюда KQm = —--ЗО = мм. Отсюда
Черт. 175.
с точками т и о. Имеем
Oo
hO
следует, что геометрическое место точек тип есть окружность с центром /C0 и 60
радиусом у мм.
4°. Геометрическое место проекций MhN точки О на AD и ВС. Точки M и Лг являются точками пересечения От и On с AD и ВС соответственно, и так как т и п — полюсы AD и ВС относительно (О), то От ¦ OM = On ¦ ON = R2 = ЗО2. Эти соотношения показывают, что точки M и N получаются из точек т и п
590
Ответы. Планиметрия. Гл. XX. КОМБИНИРОВАННЫЕ МЕТОДЫ
в результате инверсии (О, R2). Окружность, являющаяся геометрическим местом
90 60
точек т и п, не проходит через полюс О инверсии, так как OK0 = у?=у = К0т;
значит, геометрическое место точек M и N есть окружность, полученная инверсией (О, R2) окружности (/), являющейся геометрическим местом точек т и п. Точки [J- и {і/ окружности (/), лежащие на ОН, определяются соотношениями тг 90 60 30 90 , 60 150
Up =-j — у = у , О;-». = у j- Y = у-' ^сли " и ^ — образы точек р и ;х
в инверсии (О, ЗО2), то Oil • OP = CFp ¦ OP' = ЗО2, откуда OP = 210, OP' = 42. Центр окружности (F), являющейся геометрическим местом точек M и N, имеет абсциссу 126 мм, а радиус равен 84 мм.
5°. Прямые MTV проходят через фиксированную точку. Рассмотрим окруж-
„ „ 60
ность, описанную вокруг треугольника Отп\ так как /(0/га = I\0n = у, то мы видим, что эта окружность проходит через две фиксированные точки ОН; одна из них —
Г, -T7-TY тг— 77- 7>- 77— AV^2 /60\2 90
точка О, другая со—-такая, что K0O•Ko^ = До ^ • A^'*» откуда Ко<*— — ¦==• = Iy) у —
