Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
х>0, —^-J- >0, } \У — 1 / у —1 і
у(у + 2)>0, х —у —1>0, J (1(Г)
{у + 2у(х-у-1) = у*х, J
В самом деле, из равенств (9') следует, что у Ф 0 ^так как —-^—у > O^ и уф—2
(в противном случае у Yx = O, откуда или у = 0, или х = 0, чего не может быть), а значит у и у -j- 2 — числа одного знака (это следует из у Yх = (У + 2) У"* — у — 1), т. е. у (у - р 2) > 0. Обратно из соотношений (10') следуют соотношения (9'). Уравнение (у + 2)2 (х — у — 1) = у2X можно переписать так: (у + 1) [4лс — (у -f 2)2] = 0. Если у — —1, то у (у -f 2) < 0, что противоречит условию у (у —f- 2) > 0, входящему
в систему (10'). Значит, остается 4л*—(у ф 2)2 = 0. Решая систему х = ^ ^ , 4л* - (у + 2)2 = 0, находим: (у_~ту2 = (У Н" 2)2, ^?- = ± (у + 2), у 1 = -1, у2 = 2,
/17 — 3 _/[7-3 _ 1
Уз = і—---, j/4 =----. Значение у, = —1 не удовлетворяет условию
у(у-|-2)>0, значение у2 = 2, следовательно, X2 = 4 удовлетворяет условиям
системы (10'). Значение _у3 == ^-Ц^—- не удовлетворяет условию ^ у > 0. Если
_/Г7 —3 / у4 \2 9 —/Ї7 0 v4 = —-, то х4 = ( , \) =--• Значения лг4 и у4 удовлетворяют
всем условиям системы (10'). Исследуем систему (9"). Эта система эквивалентна
такой:
- = (-г^гт;)2>=т^>0, у(у +2)>0, ) (1(Г)
х-у-1 >0, у2л- = (у + 2)2(^-у-1). J
Преобразуя уравнение у2х=(уф2)2(х — у — 1), как и выше, получим уравнение \х = (у + 2)2. Решая систему х = ^—~—-J , 4л: == (у -f 2)2, получим: 4 ^—~—=
(у ф 2)2, ± = у + 2, откуда ух = , у2 = -=^J^Z . Значение у,
не удовлетворяет условию _^_ > 0, а значение у2 не удовлетворяет услозию
502 Ответы. Алгебра. Гл. VI. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ
¦у (у+ 2) > 0. Значит, система (10") не имеет решений. Итак, данная система имеет /9-/17 —/Ї7 —3^
два решения "' "'
28,
(4,2) и . (3, 2), («
Щ. 29, (2, 1), (1, 2).
§ 13. Системы, содержащие иррациональные уравнения с параметрами
1. Если а>2 или а < —2, то два решения:
\ з
а + У а2
1 . / 1 а2 —4Г (а — /а2^^3
(a + Y^2-
-Ya2 — 4\3
Если а = —2 и b Ф 0, то система несовместна. Если —2 < а < 2, то система несовместна. Если а = —2, 6 = 0, то все решения (X, — л), где X — любое отличное от нуля число. 2. Если а = b = 0, то решением является х = у = 0; если 6 = 0, а Ф 0, то система несовместна; если 6 Ф 0, а = 6, то решения системы (0, а) и (а, 0); если 6=^0 и 6 = — а, то решения системы (0, —а) и (—а, 0); если 6 (б2 — а2) < 0, то система не имеет решений; если 6 (б2 — а2) > 0 и (За2 — б2) (362 — а2)!>0, то
\а2 + 62±/(3а2 — 62) (362^a2) а2 + б2+ /(За2 —б2) (362 —а2)] решения системы -¦--—-—-—----- , -!--^-—-- .
Если 6 (б2 — а2) > 0, но (За2 — б2) (362 — а2) < 0, то система не имеет решений.
а з а -
, [U^.. ± / 1 + {JVJ.]. [^?«, ±|Л-»/Г .]. 4. У к
н и е. В силу второго уравнения ху~\~ау — ах = 0, а петому (л:—у+а)2 = х2 + у2+ а2. Полезно далее еще заметить, что из (х — у + а)2 — 4л:у = 0 следует (х — у + а)2 —
— 4 (ах—ay) = 0, (х — у—а)2 = 0, х—у—а = 0. Ответ: (1+/Г), -| (—1+/5)] ,
|д 0—/5), -^-(—1 — /5)]. 5. Если а6>0, то система имеет два решения:
(а, 6) и (6, а); если аб < 0, то система не имеет "решений. 6. Если а = | 6 |, то (0, 6) и (6, 0) — решения системы; если а Ф | 6 |, то (0, 6) и (6, 0) — не решения; если а = 0, b ф0, то решений нет; если а = 6 = 0, то система имеет единственное решение (0, 0); если а < 0, то решений нет. Пусть а > 0, тогда первое уравнение системы будет эквивалентно уравнению
(Vx2 + V x^f + Vy2 + flfiytf = а2,
Ух*у*+У х*у* = —
(1)
Это же уравнение будет эквивалентно уравнению или
г*v2 4- + з^2>,2 (/^4~2~ + vG^yr) = (^!^J^jzlZ243
л:4у*
Из уравнений (1) и (2) следует, что х*у2 + х2у* + 3.v2y2—
а* — ^
!дг2>'2 = й2 — л:2 — у2.
(2)
')':
(3)
Ответы. § 13. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ С ПАРАМЕТРАМИ 503
Можно сказать, что это уравнение следует из одного лишь уравнения (1), так как (1) и (2) — эквивалентные уравнения. Рассмотрим тождество (Vx2 +¦ Vy2T = = х2 + У2 + ZVx2T2{VX2 + Vy72). Отсюда и из (3) следует, что (Vx2 + Vy2T = = а2 — 3 Va^W+zVxT2 (Vx2^VV2) , (V^+Vff—а2^3 Vx2Y2 (Vx^+Vy2— —fa?) (Vx1 + Vf — V'a2) [V x~* - VxW2 + V7 + Va* (Vx2+ V У2) + Va1] = 0, а так как второй множитель положителен при любых значениях х и у, то
V х^+ W2-V^2. (4)
Таким образом, уравнение (4) есть следствие уравнения (1). Обратно: если выполнено уравнение (4), то, возводя обе части уравнения в куб, получим (3), а затем
из тождества (VxT2 + Vx2Tf = х'у2 + х2уА + Зх2у2 (VxT2 + VxT4), или (у х~Т2 + Vx2Tf = х2у2 [х2 + у2 + 3 VxT2 (Vx2 + VT2)] , учитывая (4), получим (VXіу2 + Vx2y*f = х2у2 (х2 + у2 + 3 Уа2х2у2). Затем, учитывая (3), получим (}' х4у2 + Уx2yAf = а2х2у2 и, снова учитывая (3), получим (Vx4y2 + Vx2y*f — --¦I-j-—J ; следовательно, > х4у2 = у х2у4 =--^-—, т. е. мы приходим к уравнению (1). Таким образом, первое из уравнений системы эквивалентно уравнению Vx2 + У у2 = У а2. Будем решать систему Vx2 + Vy2 = Va2, X + У + 3 у bxy = b. Произведем замену переменных: Ух = и У а, Уу = уУа. Получим: и2 + v2 = I, и3 + v3 + 3cuv = с3, где с = |/ — , или (и + v)2 — 2uv = 1,
