Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
уравнения, если они не будут корнями знаменателя. Один из корней числителя X = а; это число будет корнем данного уравнения, если (а + Ь) (а-\~ с) (а-\- b 4- с) Ф 0, и не будет корнем данного уравнения, если (a -f 6) (a -f с) (а -+- b -f с) = 0. Если
62-|~с2
? -|- с 0, то корнем числителя будет число X =--^ _^ с . Подставляя это значение X в знаменатель, приходим к выводу: если b-j-сфО и bc(b — с) ф 0, то
4- с2
X==--ь \-с--К0Рень данного уравнения, а если b -f- с Ф 0, #с (6 — с) = Ф, то —
не корень. Пусть b + с = 0, б2 + с2 0. Тогда, кроме л: = а, числитель не имеет корней. Если же b + с = б2 + с2 = 0, т. е. 6 = с = 0, то данное уравнение удовлетворяется при всех значениях х, не равных нулю. 16. Указание. При решении этой и многих других задач полезно знать следующие необходимые и достаточные признаки расположения числа X относительно действительных и различных корней X1 и х2 квадратного уравнения ах2 -f- bx -f- с = 0 (а Ф 0> Ь2 — 4ас > 0, a, b и с — действительные числа):
С X < X1 < X2 ... а (аХ2 + 6Х -f с) > 0, а (2аХ + Ь) < 0;
(I) { X1 < X < х2 ... а (аХ2 -f ?Х + с) < 0;
I Xj < X2 < X ... а (аХ2 + 6Х -L с) > 0, а (2аХ + Ь) > 0.
Доказательство необходимости, а) Пусть X < хх < х2; тогда 0 < a2 (X — X1) X
X (X — X2) = а • a (X — X1) (X — X2) = а (аХ2 6Х с) и далее из X < X1 < х2 следует
•*i + х2 > 2Х, т. е. — — > 2Х, откуда (умножая обе части на а2) а (2аХ -j- Ь) < 0;
б) пусть X1 < X < х2; тогда 0 > a2 (X — X1) (X — х2) = а (аХ2 -{- 6Х -|- с), в) пусть
XI < X2 < X; тогда 0 < a2 (X — X1) (X — х2) = а (аХ2 + bl -j- с), Xj-fx2<2/,
— — < 2Х, а (2аХ -|- Ь) > 0. Достаточность этих признаков доказывается методом от противного. В частности, если X = 0, получаем:
10 < X1 < х2 ... ас > 0У ab < 0) X1 < 0 < X2 ... ас < 0 X1 < X2 < 0 ... ас > 0, а? > 0
(конечно, сюда еще должно быть присоединено условие а Ф 0, б2 — 4ас > 0). Полезно для себя записать условия (I) и (H) в случае a=I (т. е. в случае, если
квадратное уравнение имеет вид х2 -f- рх ~f- q = 0). Если — оо<а< — -^-, то
X1 < 0 < х2. Если а = — , то X1 = — 3, х2 = 0; если — ~ < а < 0, то X1 < х2 < 0;
если а = 0, то X1 = X2 = — 1; если а = 4, то X1 = х2 = 3; если а > 4, то 0 < Xj < х2 (при 0<а<4 — корни мнимые). 17. Корни действительны, если или а <; — 2 или
0 > тг • Если а < — 2 или < а < у или а > 3, то 0 < X1 < х2; если у < а < 3,
Ответы. § 1. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
445
3
то X1 < 0 < х2. 18. Если а < 0, то 0 < X1 < х2; если а = 0, то один корень х = — ;
2 4
если 0 < а < 1, то < 0 < х2; если а = 1, то X1 = О, = .с-; если 1 < а < —-,
о 3
4 1 / 4 \
то 0 < X1 < X2; если а = -^-, то X1 = X2 = -g- {при а > ^— корни мнимые j.
3 3
19. Если а = 1, то X1 = X2 = — 1; если 1 < а < -^-, то X1 < х2 < 0; если а = — ,
3
то X1 = — б, X2 = 0; если -^- < а < 2, то X1 < 0 < х2; если а = 2, то только один
1 3
корень X = -^j-; если 2 < а < б, то 0 < X1 < х2; если а = б, то X1 = х2 = -^-. Если
2
а < 1 или а > б, то корни мнимые. 21. k = -g-. 22. O1 = 1, я2 = — 2. 23. #ь 2 =
-±1}/"J, ^4-±-|]/ |/. 24. а>\ или а<-3. 25. а, = ~ , д2 =1.
26.*>^или*<->^, или <*<АЇЬ1 28. а-1.
/2 /2 /2 /2
1r
30. — у <а < — 1. 32. 1 < а < 3. 33. Г. ?2 — Аас > 0, а (ар2+ bp \-с) > 0, а (ад2 +
+ bq + с) > 0, а (2ар + Ь) < 0, a (2aq + b) < 0; 2\ (ар2 + bp + с) (ад2 + bg + с) < 0. 34. Г. Если — со < t < 2, то х' < О < х"'. При ґ = — 2 имеем лиль один корень
— 1. Если — 2 < ^ < — 1, то х' < х" < 0; при / = — 1 — двойной корень х' =
= х" = — 1. Если — 1 < t < 0, то корни мнимые; при ^ = О — двойной корень х' = х" = 0. Если О < t < + оо, то О < х' < х" 2°. Такого значения t не существует. 3°. При t = — 1, х' = х" = — 1 и при ^ = 0, х' = х" = 0. 4°. Точки M' (х') и М" (х"), если х' и х" действительны, гармонически сопряжены с точками О (Q)
А(\); х'+ х" + 2х'х" = О, 1 + -L = A или ^A- + -JL= = А- . 33. Решим
w * 1 х —1 OAi' ОМ" OA
следующую более общую задачу. Пусть даны два уравнения: f (х) ~ах2 + Ьх + с—О, ср (х) ЕЕа'х2 + b'X + с — 0. Требуется составить в форме неравенств (содержащих лишь рациональные функции от коэффициентов а, Ь, с, а', Ьг, с') необходимые и достаточные условия, выражающие условие действительности корней этих уравнений и все возможные взаимные расположения корней первого уравнения относительно корней второго уравнения. Решение. Обозначим корни первого уравнения через X1 и х2, а корни второго — через S1 и S2 (мы сейчас не будем предполагать, что они действительны; в случае действительности корней первого уравнения будем считать X1^x2, а в случае действительности корней второго S1 < с,2). Подставим корни Si и S2 второго уравнения в левую часть первого; получим /(її) и /(S2). Вычислим /(=,)/(?) и /(«0+/(?): /(5.)/(?) = + K1 + с) ><
X {а* + K2 +с) = a2 (S1S2/ + аКг S2 + ас (S? + S*) + 62S1S2 + be (S1 + S2) + с2; сг Ь'
S1S2 = — и S1 + S2 ==—-~?\ значит (после ряда преобразовании) / (S1) / (S2) =
