Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
48. По правильному /г-угольнику, вписанному в круг радиуса а, «катится» прямая. Вычислить длину линии, которую опишет точка катящейся прямой, совпадающая в начальный момент с одной из вершин многоугольника при условии, что прямая сделает полный оборот.
49. Вычислить суммы:
sin X -f- 2 sin 2х -j- ... +/г sin tix.
50. tga + 2tg2a + 4tg4a4- ... +2*"1 tg2n~V
51. cos rix -f-Cn cos (n— 1) X -\-C2n cos (n — 2)x~\-
+ ... +C^cos(/z — ?)*+• ... +1.
Sec a sec 2a -f- See 2a See 3a -f- ... -f- SeC /Za See [(tl + 1) a] o COSeC a COS ЄЄ 2a -j- COSeC 2a COSeC 3a -(- ... + COSeC na COSeC [(П + 1) a]
< 1-4- cos x -4- cos ^x -4- cos ^x 4- -4- cos nx
O ' COS X ' cos2* ' cos3* і • * ' і cos"* "
54. Доказать равенства:
n-l
а) 22n cos2" X =2 2 Cln cos [2 (n — k) x] -f- Con;
ft = 0 n
б) 2*cos2"+1 * = 2 Cln+Icos[(2л — 2a + 1) *];
k = 0 n
в) 22n sin2" X = 2 (— 1 )n+" CL+1 sin [(2n — 2k + 1) X]; r) 22nsin2n+1x = 2 (— l)"+ft.C|„+1sin[(2rt — 2k-\-l)x].
k = 0
326 Тригонометрия. Гл. XXVII. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
55. Доказать, что:
а) 1+С*+С8„+ ...
б)С\+(?п + СІ + ...
в) Cl -4-с!^+cn0+...
г) С^ + СЇ + СІ1+...
Глава XXVIII ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
e) arc tg jc — arc tg у = arc tg , где Jc >0, у > 0.
ж) arc ctg x -j- arc ctg у = arc ctg xy 1 , где jc > 0, у >
V "— X
з) arc ctg X — arc ctg у = arc tg j~r--, где x>0, з/>0
1 -f- jcy
0.
Доказать следующие шесть групп формул (задачи 1 — 6):
1. a) arc sin (—х) =— arc sin jc, —1<!^<;і;
б) arc cos (—x) = Tz — arc cos x, —l^x^l;
в) arctg(—x) = —arctgjc;
r) arc ctg (— x) = tz — arc ctg x.
2. a) arc sin x -f- arc cos x= y, —1<^<;і. 6) arc tg *+ arc ctg* = у.
3. a) arc sin x = arc cos l/"l — x2 = arc tg / x ¦¦¦ =
_ Vl — jc2
Y l_
= arc ctg---, 0 < x < 1.
б) arc cos x = arc sin Y1 — = arc tg ^ x = = arc ctg r X 0<jc<1.
в) arc tg x = arc ctg — = arc sin _ x = arc cos - 1 , x > 0.
11
r) arc ctg je = arc tg — = arc sin ¦ _ = arc cos - , x > 0.
' S & JC /l+JC* Yl +X*
4. a) arc sin x -f- arc sin у = arc cos (У1 — x2 ]/" 1 — y2 — xy),
где 0<jc< 1, 0< j/< 1.
б) arc sin jc — arc sin j/ = arc sin (x Y^ — Уг — У Y ^ — •^2)» где 0<jc< 1, 0< j/< 1.
в) arc cos x -f- arc cos у = arc cos (jcj; — —x2Y^ —У2)* где 0< jc< 1, 0< j/< 1.
r) arc cos x — arc cos j; = arc sin (y Y^ —X<1 — jc]/" 1 —y2\ где 0<jc< 1, 0<_y< 1.
д) arc tg x + arc tgy= arc ctg , где jc > 0, у > 0.
328 Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
б. а) 2 arc sin* = arc cos (1 — 2*2), где 0 <; * <; 1.
б) 2 arc cos X = arc cos (2*2—1), где 0<;*<;i.
1_хъ
в) 2 arc tg * = arc ctg—2x~* где x ^
хъ_і
г) 2 arc ctg * = arc ctg —, где * > 0.
6. а) у arc sin * = arc cos -—¦-?p-, 0 < * 1.
б) Yarccos* = arccosj/^ 1 "^* , где 0<;*<;i.
в) j arc tg * = arc tg -—^-, * > 0.
7. Доказать следующие формулы:
а) sin (arc sin *) = *,• — 1 <^ * ^ 1;
б) sin (arc cos *) = V1 — x2» — 1 < * < 1;
в) sin (arc tg *) = - ;
r) sin (arc ctg *) == r 1 ;
д) cos (arc cos *) = *; — 1 <; * <; 1;
е) cos (arc sin *) = V1 — X2. .— 1 <. * < 1;
ж) cos (arc tg *) = - 1 ; ' v s ' Vl +*2
з) cos (arc ctg *) = r x ; ' 4 s J Vl + *2
и) tg(arctg*) —*;
к) tg (arc sin *) = yf==f > — 1 < * < 1;
л) tg(arccos*)^ ^Х~~ХХ* ,—1<*<0, 0 < *< 1;
м) tg (arc ctg *) = і, * Ф 0; н) ctg (arc ctg *) = *;
о) ctg (arc sin *) = x* , — 1 < * < 0, 0 < * < 1 ;* n) ctg (arc cos *) = Yi^Lxi 9 —l<x<l; p) ctg(arctg*)==-^, хфО. 8. Найти:
і v%
a) arc sin 0; б) arc sin -^-; в) arc sin —; r) arc sin •^y-; Д) arc sin 1; e) arc sin (—;
ж) arc sin (—-^-)» 3) arc sin (— ; и) arc sin (—1),
Тригонометрия. Гл. XXVIII. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 329
9. Найти:
1 Y 2
a) arc cos 0; б) arc cos у; в) arc cos-—-;
г) arc cos •^y-; д) arc cos 1; e) arc cos (—y);
ж) arc cos (—3) arc cos (—^r) > и) arc cos (—1).
10. Найти:
a) arctgO; 6) arc tg ^pL-; в) arctgl;
г) arc tg ]/~3; д) arc tg [— -^L); e) arc tg (— 1);
ж) arctg(— У~3).
11. Найти:
a) arc ctg 0; 6) arc ctg -^L-; в) arc ctg 1;
г) arc ctg УЪ\ д) arc ctg (—~Yf)f ^ arc ctg (—1): ж) arc ctg (—Y З).
12. Вычислить:
a) sin (arc cos у); б) cos (arc sinу);
в) sin (arc cos (—т))' г^ cos(arcsin(—"§))*'
д) sin (arc tg 2); e) cos (arc ctg (—2));
ж) tg(arcsin(—т)); 3) ctg(arccos(—4))'
13. Вычислить:
a) sin (2 arc cos у); 6) cos (з arc sin ;
в) cos (2 arc cos x); r) cos (3 arc cos x); д) sin (2 arc tg 4); e) tg (3 arc ctg 5).
14. Вычислить:
a) arctg(tg-^-); 6) arc cos (cos (— -^));
в) arc sin (sin -y-); r) arc ctg (ctg-^p).
16. Вычислить:
a) arc sin (sin 5); 6) arc cos (cos 10);
в) arctg[tg(— 8)1; r) arc ctg [ctg (- 12)].
16. Выразить через арксинус следующие значения обратных тригонометрических функций:
