Сборник задач по специальному курсу элементарной математики - Моденов П.С.
Скачать (прямая ссылка):
Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
3q9
. 2**. I. Обозначения. Пусть (С)— линия второго порядка, F—ее фокус. Назовем параметром р половину фокальной хорды этой линии, т. е. половину хорды этой линии, перпендикулярной ее фокальной оси., Назовем модулем X расстояние от фокуса F до соответствующей ему директрисы. Заметим, что эксцентриситет равен отношению параметра к модулю: е = ~. Теперь назовем базисными элементами линии (С):
а) базисной окружностью — окружность с центром F и радиусом 2р\
б) ба и:иой прямой — прямую (L), симметричную директрисе (А) относительно фокуса F.
Заметим, что фокус F не лежит на базисной прямой и что линия (С) полностью определяется ба иеной окружностью и базисной прямой.
Во всем дальнейшем предполагается, что линия второго порядка задана своей базисной окружностью и базисной прямой. Н.а)Как построить точки и касательные к линии (С)?
б) Как построить касательные к линии (С), паратлельные данной прямой? III. Преобразование (H). а) Пусть даны точка F и прямая (L), не проходящая через эту точку. Пусть т—точка, на расположенная ни на прямой (L), ни на прямой (L0), проходящей через F параллельно (L). Прямая Fm пересекает (L) в точке fx, и существует точка M1 гармонически сопряженная с точкой ja относительно пары т, F. Назовем преобразованием (H) преобразование, которое точке т ставит в соответствие точку М. Во всем дальнейшем мы будем рассматривать лишь одно это преэбра озание (H); точки т и M будем называть гомологичными. Образ Al точки т можно построить так: пусть т0— точка прямой (L0), отличная от F; Мл — середина Fm0; тогда M есть точка пересечения Fm и TM0, где T—точка пересечения с (L) прямой т0т; в самом деле, пучок TL, TM0; TF, Tm0 гармонический.
4 б) Частные случаи и различные замечания. Установить следующие факты:
1°. Образ т0 точки прямой (L0) есть середина M0 отрезка Fm0.
2°. Если точка т стремится к F или к {х [|х — точка (L)], то ее образ M стремится соответственно к F или |х, так что F — двойная точка преобразования (H), так же, как и любая точка прямой (L).
3°. Образы бесконечно удаленных точек плоскости суть точки прямой (А), симметричной (L) относительно F.
4°. Точки, образами которых служат бесконечно удаленные точки плоскости, суть точки прямой (8), симметричной (L0) относительно (L).
5°. Всякая прямая, проходящая через F1 инвариантна.
6°. Всякая прямая (d), пересекающая (L) и (L0) соответственно в точках T и т0 (отличной от F)1 переходит в прямую (D)1 проходящую через точку T и середину M0 отре, ка Fm01 так как образ M любой точки т прямой (d) на основании а) должен лежать на этой прямой (D).
7°. Всякая прямая (d)t параллельная (L) [но не совпадающая ни с (L)1 ни с (L0)], переходит в прямую (D)1 гармонически сопряженную с (L) относительно пары (dt L0).
8°. На основании предыдущего, образом прямой (d) является всегда прямая (D); (d) и (D) будем называть гомологичными прямыми; две такие прямые совпадают, если они проходят через F; в противном случае они или пересекаются на (L)1 или параллельны (L). Наконец, очевидно, что если четыре точки прямой (d) образуют гармоническую четверку, то их образы на прямой (D) также образуют гармоническую четверку.
IV. Мы теперь видим, что линия (C)1 определенная базисной окружностью (с) . и базисной прямой (L)1 есть образ (с) в преобразовании (H)1 определенном точкой F (центром с) и прямой (L). Соответствующие точки (с) и (С)
310
Стереометрия. Гл. XXVI. ПЛАНИМЕТРИЯ СО СТЕРЕОМЕТРИЕЙ
лежат на прямых, проходящих через точку F. Если на окружности (с) взять точки тх и т2, то образом прямой Tn1Tn2 будет прямая M1M29 где M1 и M2 — образы точек Tn1 и т2\ в частности, образом касательной к окружности (с) в точке (С) будет касательная к линии (С) в точке M9 соответствующей точке т в преобразовании (H). Отсюда следует, что некоторые построения, относящиеся к линии (C)9 можно выполнить, проведя их предварительно для окружности (с). Рассмотреть два примера.
а) Пересечение с прямой линии (C)9 заданной базисной окружностью и прямой.
б) Касательные, проведенные из точки P к линии (С).
V. Как определить тип линии (C)9 если заданы (с) и (L)?
VI. Построить касательные к гиперболе (C)9 параллельные данной прямой. Исследовать. Рассмотреть частные случаи. Как построить центр гиперболы? Как построить центр линии (С)?
VII. Пусть F — вершина конуса вращения; (H1) — плоскость, проходящая через .S перпендикулярно его оси; (/7') — секущая плоскость, пересекающая ось в точке (Qy9 (A1) — прямая пересечения (Пг) и (П')\ (С)— сечение конуса; (C1) — проекция (С) на плоскость (TT1); (П) — плоскость, симметричная (Fl1) относительно 2; (А)—проекция (A1) на (77); (L) — прямая, симметричная (A1) относительно 2; F — точка пересечения оси конуса с плоскостью (77); (с)—окружность пересечения конуса с плоскостью (77); (С) — проекция (С) [или (C1)] на плоскость (П). Дать, исходя из этого, построения, пространственную интерпретацию преобразованию (H) и предыдущим построениям.
З***. I. Планиметрия. На плоскости фиксированы две точки: FnFf (FF'=2c)\ О — середина отрезка FFf, (А) — его медиатриса;.пусть а — положительное число,
