Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1724. Определить силу давления воды на вертикальный полукруг, диаметр которого 2R расположен на поверхности воды.
1725. Плотина имеет форму трапеции с верхним основанием 20 м, нижним 10 м и высотой 6 м. Определить силу давления воды на плотину.
1726. Найти моменты инерции относительно осей Ox и Oy площади прямоугольника, ограниченного линиями ж = 0, ж = а, у = 0 и у = Ь.
Указание. Разбив прямоугольник на горизонтальные площадки, умножим каждую площадку на квадрат ее расстояния от оси Ох, т. е. на у2. Суммируя и перейдя к пределу, получим
ь
Jx = Hm У^аАуу2= / ay2 dy.
Ay^O ^ J
0
а
Аналогично Jy = J Ъх2 dx.
о
1727. Найти момент инерции относительно осей Ox и Oy площади треугольника, ограниченного линиями ж = 0, у = 0 и ж у
" + I = 1-
а о
1728. Найти момент инерции относительно оси Oy площади, ограниченной линиями ж = 2, у = ж2 и у = 0.
1729. Найти статические моменты относительно Ox и Oy и координаты центра масс треугольника, образованного линиями ж = 0, у = 0иж + у = а.
а а
Указание. Статические моменты: Mx = J xydy, Му = J xydx.
о о
Координаты центра масс: хс = —-р, ус = —~г, гДе S — площадь фигуры.
6. Задачи из физики
171
1730. Найти центр масс площади, ограниченной линиями a2y = = bx2, X = а и у = 0.
1731. Найти центр масс полукруга х2 + у2 = а2, отсеченного осью Ох.
1732. 1) Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из цилиндрического бассейна с радиусом основания 0,5 м, если в начальный момент уровень воды в бассейне равен 2,8 м и на 0,2 м ниже выпускающего воду отверстия в цилиндре.
2) Вычислить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из полушара радиусом Дм.
1733. Определить работу, которую нужно затратить, чтобы поднять массу т с поверхности земли на высоту h.
Указание. Сила F земного притяжения на расстоянии х от центра земли определяется из пропорции F : mg = R2 : х2, где R — радиус земного шара.
1734. Котел имеет форму параболоида вращения глубиной H = = 0,5 м и радиусом основания Д = 0,4м. Определить работу, которую нужно затратить на выкачивание воды из такого наполненного котла.
1735. В цилиндре под поршнем находится воздух объемом Vq = = 0,1м3 с давлением ро = 1) 033 • 105 Па. Определить работу изотермического сжатия воздуха до объема V = 0,03м3. (По закону Бойля-Мариотта pV = ро^о-)
1736. Вычислить работу растяжения на 0,001м медной проволоки длиной 1м с радиусом сечения 2 мм.
Указание. Сила F H натяжения проволоки длиной / м и площадью сечения s мм2 при удлинении ее на х м определяется формулой F =
SX
= E — , где E — модуль упругости. Для меди можно принять E к, « 1,2 • 105Н/мм2.
1737. За какое время вода, наполняющая цилиндрический сосуд с площадью основания S = 420 см2 и высотой H = 40 см, вытечет через отверстие на дне площадью s = 2 см2?
Указание. Скорость истечения жидкости при уровне ее на высоте ж см определяется по формуле V = iij2gx, где ц — коэффициент, зависящий от вязкости жидкости, формы сосуда и отверстия. Мы примем здесь, как и в задаче 1738, // = 0,6.
1738. За какое время вода вытечет из конической воронки высотой H = 40 см, радиусом нижнего основания г = 0,3см и верхнего Д = 6см (см. указание к задаче 1737)?
1739. Определить силу давления воды на вертикальную треугольную площадку высотой h, основание которой а параллельно
172
Гл.9. Определенный интеграл
поверхности воды, а противоположная вершина находится на поверхности воды.
1740. Определить силу давления воды на вертикальный параболический сегмент, основание которого равно 4м и расположено на поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м.
1741. Найти глубину ж, на которой прямоугольный шлюз высотой h разделится горизонтально на такие две части, величина силы давления на которые одинакова.
1742. Цилиндрическая цистерна с горизонтальной осью наполовину наполнена маслом (плотность 0,9). Определить силу давления масла на каждую из плоских стенок цилиндра, если радиус ее равен 2 м.
1743. Определить момент инерции относительно Ox площади четверти круга ж = a cost, у = a sin t.
1744. Найти координаты центра масс площади, ограниченной линиями у = 4 — X2 я у = 0.
1745. Вычислить работу, необходимую для выкачивания воды из ямы, имеющей форму конуса (с вершиной на дне), высота которого H = 2 м, а радиус основания R = 0, 3 м.
1746. Определить работу адиабатического сжатия воздуха объемом Vq = 0,1м3 и с давлением ро = 1,033 • 105 Па до объема V\ = 0, 03 м3. (Адиабатическое сжатие происходит по закону Пуассона: pV1 = PqVq , где 7 и 1,4.)
1747. За какое время вода, наполняющая чашу формы полушара радиусом 40 см, вытечет из отверстия на дне площадью 2 см2? (См. указание к задаче 1737; положим коэффициент вязкости д = 0, 8.)
§ 7. Несобственные интегралы
1°. Определения:
4-OO Ъ
I. Интегралом / f(x) dx называется Hm / f(x) dx, если этот
J Ь^ + со J
a a
предел существует и конечен. Аналогично определяются интегралы
Ъ +оо
f(x) dx и J f(x) dx.
— OO
П. Если f(x) непрерывна для всех значений х отрезка [а, 6], кроме точки с, в которой f(x) имеет разрыв II рода, то интегралом от f(x) в пределах от а до 6 называется сумма
