Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
1039. Показать, что функция у = excosx удовлетворяет дифференциальному уравнению yIV + Ay = 0.
1040. Показать, что функция у = хе~11х удовлетворяет уравнению х3у" — X у' + у = 0.
п(п — \) (— \)п
1041. /(ж) = ж2е-ж/а; показать, что /^)(O) = —-^-—.
2 ^
1042. /(ж) = е-ж ; показать, что
/Н(0) = -2(га - 1)/(и"2)(0), /(2т-!)(0) = 0, /2т(0) = (-2)m(2m - l)(2m - 3) • ... • 5 • 3 • 1.
1043. /(ж) = жп; показать, что
f'(l) f"(D f(n)(D
/(1) + 1Y + Ш + • • • + = 2п.
1 2! га!
§ 10. Производная неявной функции
Если уравнение F(x, у) = 0, неразрешенное относительно у, определяет у как однозначную функцию х, то у называется неявной функцией х. Чтобы найти производную у' этой неявной функции, нужно обе части уравнения F(x, у) = 0 продифференцировать по х, рассматривая у как функцию от х. Из полученного уравнения найдем искомую производную у'. Чтобы найти у", нужно уравнение F(x, у) = 0 дважды продифференцировать по ж и т. д.
Найти у' из уравнений:
1044. 1) ж2 + у2 = а2; 2) у2 = 2рх; 3)^--^- = 1.
а2 Ъг
1045. 1) ж2 + ху + у2 = 6; 2) ж2 + у2 - ху = 0.
1046. 1) ж2/3 + у2/3 = а2/3; 2) еу - е~х + жу = 0.
1047. ех sin у — е_!/ cos ж = 0.
122
Гл.6. Производная и дифференциал
1048. ж = у + arcctg у.
9 ч
1049. ex,J — X +у=0; найти — при х = 0.
(IX
1050. Найти у" из уравнений:
1)а-2 + у2 = а2; 2) ax + by - ху = с; S) хтуп = 1.
1 2
X Il
1051. — + +г = 1; найти у" в точке (0; 6).
„2 Ij2
а
1052. Написать уравнения касательных к кривой ж2 + у2+4ж — — 2у — 3 = 0 в точках пересечения ее с осью Oy.
1053. Найти точки пересечения нормали гиперболы ж2 —у2 = 9, проведенной из точки (5; 4), с асимптотами.
1054. Написать уравнение касательной в точке (жо; уо) к кривой:
!) 4 + Й = !; 2) У2 = 2^-
1055. Написать уравнения касательных к астроиде ж2/3+у2/3 = = а2/3 в точках пересечения ее с прямой у = ж.
1056. Под каким углом пересекаются кривые
ж2 + у2 = 5 и у2 = 4ж?
1057. Найти у' из уравнений:
!)^ + 10- = 1; 2) ж3 + у3 - Зажу = 0. az Ьг
1058. Найти у" из уравнений:
1)ж2-у2 = а2; 2) (х - а)2 + (у - ?)2 = R2; 3) arctg у = ж + у; 4)ж2 + жу + у2 = а2.
1059. Написать уравнения касательных к окружности ж2 + у2 + + 4ж — 4у + 3 = 0в точках пересечения ее с осью Ох. Построить окружность и касательные.
1060. Написать уравнение касательной к эллипсу ж2+4у2 = 16 в точке, в которой делится пополам отрезок касательной, отсеченный осями координат, и которая лежит в первой четверти.
ds
1061. te~sl2 + se'1!2 = 2; найти — при t = 0.
dt
dx
1062. і In ж — ж In ?=1; найти — при ? = 1.
dt
1063. ж2 sin у — cos у + cos 2у = 0; найти у' при у = 7г/2.
11. Дифференциал функции
123
§11. Дифференциал функции
Если функция у = /(ж) дифференцируема в точке х, т. е. имеет в
, Ay ,
этой точке конечную производную у , то —— = у' + а, где а —у 0 при
Ax
Ax —у 0; отсюда
Ay = у'Ax + аАх. (1)
Главная часть у'Ax приращения Ay функции, линейная относительно Аж, называется дифференциалом функции и обозначается dy:
dy = у'Ах. (2)
Положив в формуле (2) у = ж, получим dx = х'Ax = 1 • Аж = Аж, и поэтому
dy = у' dx. (3)
Формула (3) верна и в том случае, если ж есть функция новой переменной t.
Из (1) следует, что Ay к, dy, т. е. при достаточно малом dx = Ax приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.
В частности, для линейной функции у = ах + Ь имеем: Ay = dy.
Найти дифференциалы функций:
1064. 1) у = хп; 2) у = Xs - Зж2 + Зж.
1065. 1) у = V7I + ж2; 2) s = ^-.
1066. 1) г = 2ip - sin2v?; 2) ж = .
1067. 1) d(sin2 і); 2) d(l - cos и).
1068. 1) d (-+ arctg-) ; 2)d(a + ma);
\ж а/
3) d ^cos ^ ; 4) d ^arcsin —
1069. Нахождением дифференциала каждого члена уравнения dy
найти — из уравнений:
dx
1) X2 + у2 = а2; 2) жу = а2; 3) ж2 - ху - у2 = 0.
1070. 1) у = ж2; найти приближенно изменение у (Ay и dy), когда ж изменяется от 2 до 2,01; 2) у = -^/ж; найти приближенно изменение у, когда ж изменяется от 100 до 101.
1071. 1) Сторона куба ж = 5м±0,01м. Определить абсолютную и относительную погрешность при вычислении объема куба.
124
Гл.6. Производная и дифференциал
2) Длина телеграфного провода s = 26 ^l + "тр-J, где 26 —
расстояние между точками подвеса, а / — наибольший прогиб. На сколько увеличится прогиб /, когда провод от нагревания удлинится на dsl
1072. 1) С какой точностью нужно измерить абсциссу кривой у = x2y/x при X ^ 1, чтобы при вычислении ее ординаты допустить погрешность не более 0,1?
2) С какой относительной точностью нужно измерить радиус шара, чтобы при вычислении объема шара допустить погрешность не более 1 %?
1073. Определить приближенно: 1) площадь кругового кольца; 2) объем сферической оболочки. Сравнить с их точными значениями.
Найти дифференциалы функций:
1074. 1) у = - - \; 2) г = cos (a - bcp); 3) s
XX
1075. 1) у = In cos ж; 2) z = arctg \J Au — 1; 3) s
1076.1)^(^+1); 2)d(tga-a); 3) d(bt - e~bt).
1077. 1) у = ж3; определить Ay и dy и вычислить их при изменении ж от 2 до 1,98.
2) Период колебания маятника где / — длина маятника в сантиметрах. Как нужно изменить длину маятника / = 20 см, чтобы период колебания уменьшился на 0,1с?
