Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
Ll
648. Найти сумму cos ж + cos 2ж + cos Зж + ... + cos пх.
649. Доказать тождество
ж5 - 1 = (ж - 1)(ж2 - 2жсоз72° + 1)(ж2 - 2ж cos 144° + 1).
650. Вычислить:
1) 4JlJ*! 2) (a + bif - (a-bif. 4 + Зі j у V j
Следующие комплексные числа изобразить векторами, определить их модули и аргументы и записать в тригонометрической форме и в форме revt (при —7Г < ip ^ 7г):
86
Гл.4. Высшая алгебра
651. 1) z = 4 + Ai; 2) z = -1 + г'УЗ; 3) z = 1 - і.
652. 1) z = 5; 2) z = -і; 3) г = -л/2 -
653. Построить область точек z по условиям
1 < \z\ < 3 и 7г/4 < уз < 37г/4.
654. Дана точка Z0 = 3 — 4г. Построить область точек г, для
которых \z — Zq | < 5.
655. Вычислить по формуле Муавра:
1) (1-і)6; 2) (2 + гУЇ2)5; 3) (l + cos | + і sin |)6.
656. Выразить sin 4а и cos 4а через функции угла а, используя тождество (cos а + і sin а)4 = cos 4а + і sin 4а.
657. Найти все значения корней: 1) лУ— 1; 2) \/Т и изобразить их радиус-векторами.
658. Решить уравнения:
1) X3 - 8 = 0; 2) ж6 + 64 = 0; 3) ж4 - 81 = 0.
659. Найти сумму (см. задачу 647)
cos ж + cos Зж + cos 5ж + ... + cos (2га — 1)ж.
§ 4. Уравнения высших степеней и приближенное решение уравнений
1°. Кубическое уравнение:
X3 + ax2 + bx +с=0. (1)
Если Xi, X2, Xs — корни уравнения (1), то уравнение можно записать в виде (х — xi)(x — X2)(X — Xs) = 0. Отсюда a = —(xi + X2 + Xs),
Ъ = XlX2 + XlXs + X2Xs, С = —XlX2Xs-
Уравнение X3 + ах2 + Ьх + с = 0 приводится к виду z3 + pz + q = 0 а о
подстановкой х = z--. Уравнение z +pz + q = 0 решается по формуле
3
Кардано:
= и + V.
> 0, то Zi = Ui + vi, z2) з =--2- ^
— вещественные значения корней и и v.
3(7 3/J Zi
q2 р3 I. Если A = Ч- + ^
, «і - vi . R
+---гл/S, где vi и vi -
тт ^ q2 р3
:4. Уравнения высших степеней 87
III. Если А
+ — < 0, то Z1
P <Р
- COS —,
3 3 '
^2,3
X cos І -Ь- ± 120°
- о
ГДЄ COS Lp
1 /
"2/ V 27'
2°. Отделение вещественного корня уравнения f(x) = = 0. Между а и 6 содержится единственный корень уравнения f(x) = 0, если /(а) и /(6) имеют разные знаки, а /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и внутри него имеет производную f (х) ф 0. Будем считать еще, что на этом отрезке и f"(x) ф 0.
3°. Способ хорд приближенного решения уравнения f(x) = 0. Пусть «о — тот из концов отрезка [а, 6], отделяющего корень,
на котором f(ao)f"(c^ < 0. ТІгда приближением к корню х ( «і пересечения с Ox хорды АВ\ (рис. 23):
где к
m - /(«)
Ъ — a i
4°. Способ касательных/(сц
a
аис. 23
«і ф Ct0
I I
У=/(X)
Ньютона). Пусть /? — тот из концов отрезка [а, 6], на KOT^^^f^o) f" (?o) > 0. Тогда приближением к корню ж будет точка ?\ пересечения с Ox касательной к кривой у = f(x) в точке [?o, f(?o)] (рис. 23):
?i = ?o
/(/Зо)
ГДЄ A1 =/'(/?„).
Применяя повторно способ хорд и касательных, можно составить таблицу
a\?\f(a)\f(?)\k\k1\Aa\A?\
(2)
88
Гл.4. Высшая алгебра
где к л ki — наклоны хорд и касательных, а
Aa = -^ н АР = -Щ.
к ki
Последовательности получаемых в таблице (2) значений а и ? сходятся к искомому корню.
5°. Способ итераций. Если уравнение f(x) = 0 можно привести к виду X = Lp(x), причем в некоторой окрестности корня Iy'(ж) I < О <С 1 и Xo — любое число в этой окрестности, то сходящаяся последовательность приближенных решений будет
Xl=Lp(X0), X2 = Lp(Xl), X3 = Lp(X2),. . .
В уравнениях задач 660, 661 среди целых множителей свободного члена подобрать один корень, разделить левую часть на ж — Xi и затем найти остальные корни:
660. 1) ж3 - 4ж2 + X + 6 = 0; 2) ж3 - 4ж2 - 4ж - 5 = 0. Решение проверить составлением выражений
Жі+Ж2 + Ж3, жіж2 + Ж2Ж3 + ж1ж3, жіж2Ж3.
661. 1) ж3 - 5ж2 - 2ж + 24 = 0;
2) ж4 + ж3 + 2ж - 4 = 0;
3) 9ж3 + 18ж2 - ж - 2 = 0; 4) 4ж3 - 4ж2 + ж - 1 = 0. Решить по формуле Кардано следующие уравнения:
662. 1) z3 - 6z - 9 = 0; 2) z3 - 12z - 16 = 0.
663. 1) z3 - 12z - 8 = 0; 2) z3 + Qz - 7 = 0.
664. ж3 + 9ж2 + 18ж + 9 = 0.
665. Дано уравнение f(x) = ж4 — ж — 10 = 0. Составив таблицу знаков /(ж) при ж = 0, 1, 2, ..., определить границы положительного корня и вычислить его с точностью до 0,01 по способу хорд и касательных.
тт х3
666. Построить график функций у = —, определить графиче-
3
ски границы корней уравнения ж3 —6ж + 3 = 0 и вычислить корни с точностью до единицы третьего знака.
667. По способу итераций (последовательных приближений) найти вещественные корни уравнений: 1) ж3 + 60ж — 80 = 0; 2) 2х = 4ж; 3) ж3 + /2ж + I3 = 0; 4) ж4 - 2ж - 2 = 0.
668. Подбором одного корня среди целых множителей свободного члена решить уравнения:
1) ж3 + 8ж2 + 15ж + 18 = 0; 2) ж3 - Зж2 + 4 = 0. Для проверки составить выражения жг-, ^жг'жі и ж1ж2ж3.
4. Уравнения высших степеней
89
669. По формуле Кардано решить уравнения: 1) z3 + 18z - 19 = 0; 2) z3 - 6z - 4 = 0;
3) z3 -3z + 2 = 0; 4) x3 + 6ж2 + 9ж + 4 = 0.
4
TT Ж
670. Построив график функции у = —, определить границы
5
корней уравнения ж4 + 3ж —15 = 0 и вычислить корни с точностью до 0,01.
671. Найти с точностью до 0,01 положительные корни уравнений: 1) ж3 + 50ж - 60 = 0; 2) ж3 + ж - 32 = 0.
