Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
l) В каждом параграфе после черты приведены задачи, которые рекомендуются для задания на дом или для повторений.
2. Деление отрезка в данном отношении
11
§ 2. Деление отрезка в данном отношении. Площадь треугольника и многоугольника
1°. Деление отрезка в данном отношении. Даны точки А{х\, 2/1) и В(х2; J/2)• Координаты точки М(х; у), делящей отрезок AB в отношении AM : MB = X, определяются по формулам:
Х\ + \х2
У ¦
У\ + А2/2
1+Л ' " 1+Л
В частности, при делении пополам, т. е. в отношении А = 1 : 1 = 1,
Xi +X2 2/1 + 2/2 X = -, у = -.
(2)
2°. Площадь многоугольника с вершинами А(х\, у\), B(X2', , F(xr.
г/2), С(х3; уз), S
1
Xl Уі _1_ X2 г/2 _1_ _|_ Xn Уп
X2 г/2 X3 г/з ^... ^ Xi г/1
(3)
Выражение вида
равно ж 12/2 — «22/1 и называется определи-
\х\ г/1 кг г/2
тележ второго порядка1).
22. Построить точки А( — 2; 1) и -В(3; 6) и найти точку М(х; у), делящую AB в отношении AM : М_В = 3:2.
23. Даны точки А( — 2; 1) и -В(3; 6). Разделить отрезок AB в отношении AM : МБ = -3:2.
24. В точках А{х\) и В{х2) оси Ож помещены массы mi и ш2. Найти центр масс этой системы.
25. В точках А(жі), В{хї) и С(жз) оси Ож помещены соответственно массы mi, ш2 и тз. Показать, что центр масс этой
тіЖі + гп2ж2 + тзЖз системы будет в точке ж = -.
26. На концы однородного стержня длиной 40 см и массой 500 г насажены шары массой 100 г и 400 г. Определить центр масс этой системы.
27. В точках А( — 2; 4), -В(3; —1) и С(2; 3) помещены соответственно массы 60 г, 40 г и 100 г. Определить центр масс этой системы.
28. Определить середины сторон треугольника с вершинами А(2; -1), B[A- 3) иС(-2; 1).
29. В треугольнике с вершинами О(0; 0), А(8; 0) и -В(0; 6) определить длину медианы ОС и биссектрисы OD.
1) Об определителях подробно изложено в гл. 4, § 1.
12
Гл. 1. Аналитическая геометрия на плоскости
30. Найти центр масс треугольника с вершинами A(I; — 1), В(6; 4) и С(2; 6).
Указание. Центр масс треугольника находится в точке пересечения его медиан.
31. Вычислить площадь треугольника с вершинами А(2; 0), В(5; 3) и С(2; 6).
32. Показать, что точки A(I; 1), В( — 1; 7) и C(O; 4) лежат на одной прямой.
33. Вычислить площадь четырехугольника с вершинами А(3; 1), B(A; 6), С(6; 3) и D(5; -2).
34. В точках А( — 3; —1) и -В(4; 6) приложены параллельные силы, соответственно равные ЗОН и 40Н. На отрезке AB найти точку приложения равнодействующей.
35. В точках О(0; 0), А(2; —5) и B(A; 2) помещены соответственно массы 500 г, 200г и 100 г. Определить центр масс этой системы.
36. В треугольнике с вершинами А( — 2; 0), В(6; 6) и C(I; —4) определить длину биссектрисы AE.
37. Найти центр масс треугольника с вершинами А(х\, у\), В(х2; у2) и С(х3; у3).
38. Найти центр масс четырехугольной однородной доски с вершинами А(-2; 1), 5(3; 6), С(5; 2) и D(O; -6).
Указание. По формулам, полученным в задаче 37, найти центры масс треугольников ABC и ADC и разделить расстояние между ними в отношении, обратном отношению площадей треугольников.
39. Даны точки A(I; 2) и B(A; А). На оси Ox определить точку С так, чтобы площадь AABC была равна 5, и построить AABC
40. В треугольнике с вершинами А( — 2; 2), B(I; —А) и С(4; 5) каждая сторона продолжена в направлении обхода периметра против часовой стрелки на одну треть своей длины. Определить концы М, N и P продолжений сторон и найти отношение к площади AMNP к площади AABC
§ 3. Уравнение линии как геометрического места точек
Уравнением линии называется уравнение с переменными х и у, которому удовлетворяют координаты ,любой точки этой ,линии и только они.
Входящие в уравнение линии переменные х и у называются текущими координатами, а буквенные постоянные — параметрами. Например, в уравнении окружности (задача 41) х2 + у2 = R2 переменные X и у — текущие координаты, а постоянная R — параметр.
Чтобы составить уравнение линии как геометрического места точек, обладающих одинаковым свойством, нужно:
3. Уравнение линии как геометрического места точек
13
1) взять произвольную (текущую) точку М(х; у) линии;
2) записать равенством общее свойство всех точек M линии;
3) входящие в это равенство отрезки (и углы) выразить через текущие координаты точки М(х; у) и через данные в задаче.
41. Показать, что уравнением окружности с радиусом і? и с центром в начале координат будет ж2 + у2 = R2.
42. Написать уравнение окружности с центром С(3; 4) и радиусом R = 5. Лежат ли на этой окружности точки А( — 1; 1), В(2; 3), О(0; 0) и D(A; 1)?
43. Написать уравнение линии, по которой движется точка М(х; у), равноудаленная от точек A(O; 2) и B(A; —2). Лежат ли на этой линии точки С(-1; 1), D(I; -1), E(O; -2) и F(2; 2)1
44. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается втрое дальше от точки A(O; 9), чем от точки -B(O; 1).
45. Написать уравнение траектории точки М(х; у), которая при своем движении остается вдвое ближе к точке А( — 1; 1), чем к точке В(—А; А).
46. Написать уравнения биссектрис координатных углов.
47. Написать уравнение геометрического места точек, сумма расстояний от каждой из которых до точек F(2; 0) и Fi( — 2; 0)
