Аналитическая геометрия на плоскости - Минорский В.П.
Скачать (прямая ссылка):
\/[х~2
/Х2
Y2+ Z2
AB*
- Xl)2 + (У2 - Уі)2 + (Z2 - Zlf
Xi + Yj + Zk.
Если а, ? и 7 — углы вектора u = AU с осями координат, то
XY Z
cos а = —, cos p= —, cos 7 = —, иии
причем
cos а + cos ? + cos 7
1,
(4) (5)
(6) (7)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов вектора равна 1.
Из формул (4)-(6) следует, что вектор и вполне определяется тремя числами: X, Y и Z — его проекциями или его координатами. Поэтому иногда пишут или говорят: дан вектор u{X; Y; Z}.
386. Построить точку М(5; —3; 4) и определить длину и направление ее радиус-вектора.
387. Построить вектор г = OM = 2i + 3j + 6k и определить его длину и направление (проверить по формуле cos2 а + cos2 ? + + cos2 7=1).
388. Вектор составляет с осями Ox и Oz углы 40° и 80°. Найти его угол с осью Oy.
389. Радиус-вектор точки M составляет с осью Ox угол 45° и с осью Oy угол 60°. Длина его г = 6. Определить координаты точки М, если ее координата z отрицательна, и выразить вектор
OM = г через орты i, j, к.
390. Даны точки A(I; 2; 3) и В(3; —4; 6). Построить вектор
AB = и, его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора и с осями координат.
З. Скалярное произведение двух векторов
55
391. Построить параллелограмм на векторах OA = i+j и OB = = к — 3j и определить его диагонали.
392. В точке А(2; 1; —1) приложена сила R = 7. Зная две координаты этой силы X = 2 и Y = —3, определить направление и конец вектора, изображающего силу.
393. На плоскости хОу даны точки А(4; 2). В(2; 3) и C(O; 5)
и построены векторы О А = а, СТЙ = b и ОС = с. Разложить геометрически и аналитически вектор а по векторам b и с.
394. Даны точки А(2; 2; 0) и -B(O; —2; 5). Построить вектор
и и определить его длину и направление.
A3
395. Вектор OM = г составляет с осями координат равные острые углы. Определить эти углы и построить вектор г, если его длина равна
396. Вектор составляет с осями Oy и Oz углы 60° и 120°. Какой угол он составляет с осью OxI
397. Даны три последовательные вершины параллелограмма A(I; —2; 3), В(3; 2; 1) и С(6; 4; 4). Найти его четвертую вершину D.
Указание. Из равенства АҐ) = ВС следует, что равны и их координаты: X — 1 = 6 — Зи т. д.
398. На плоскости хОу построить векторы OA = а = 2І, 0~Й =
= Ь = Зі + 3j и ОС = с = 2i + 6j. Разложить геометрически и аналитически вектор с по векторам а и Ь.
§ 3. Скалярное произведение двух векторов
1°. Определение. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними.
Скалярное произведение вектора а на вектор b обозначается а • Ь. Итак,
а • b = ab cos ср. (1)
Из рис. 18 видно, что bcosp = праЬ. Поэтому
a • b = ab cos <р = а праЬ = Ъ прьа. (2) о
2°. Свойства скалярного произведения:
I. а • b = b • а — переместительный закон. П. а • (b + с) = а • b + а • с — распределительный закон
В
У
а
b cos ф С А
Рис. 18
III. Если а||Ь, то а-Ь остюда
±а6. В частности, а = а • a = аа cos 0°
(3)
56
Гл.2. Векторная алгебра
IV. Если a _L Ь, то а • b = ab cos 90° = 0.
V. Скалярное произведение ортов:
і - j = 0, jk=0, ik = 0, ii=l, j-j = l, kk=l.
VI. Если векторы а и b заданы координатами а{ах, ау, az} и Ъ{ЬХ, by, bz}, то
а • b = ахЪх + ayby + azbz. (4)
3°.Угол между векторами:
ab ахЪх + ауЪу + azbz
cos<р = —— = L у =. (5)
аЬ фі + аІ + аіфі + ЬІ + ЬІ
л.т u Ъу bz
Условие параллельности: b = та или — = — = — = т.
ах ay ах
Условие перпендикулярности: а • b = 0 или ахЬх + ауЬу + azbz = 0.
399. Определить угол между векторами а = — i+jnb = i — - 2j + 2k.
400. Определить углы AABC с вершинами А(2; —1; 3), B(I; 1; 1) и С(0; 0; 5).
401. Даны точки А(а; 0; 0), -В(0; 0; 2а) и С(а; 0; а). Построить
векторы OO и AB* и найти угол между ними.
402. На плоскости дан треугольник с вершинами О(0; 0), А(2а; 0) и В(а; —а). Найти угол, образованный стороной OB и медианой OM этого треугольника.
403. Найти угол между биссектрисами углов хОу и yOz.
404. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.
405. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a = 2i+jhb = —2j + k.
406. Даны векторы а = і + j + 2киЬ = і—j + 4k. Определить пр&а и npab.
407. Раскрыть скобки в выражении
(2i-j)-j + (j-2k)-k+(i-2k)2.
408. Вычислить: 1) (m+n)2, если тип — единичные векторы с углом между ними 30°; 2) (а — Ь)2, если а = 2у/2, Ь = 4 и
(арЬ) = 135°.
409. Раскрыть скобки в выражениях:
1)(а+Ь)2; 2) (а +Ь)2 +(а-Ь)2
и выяснить геометрический смысл полученных формул.
410. Даны компланарные векторы а, b и с, причем а = 3, Ь = 2,
с = 5, (а, b) = 60° и (Ь, с) = 60°. Построить вектор u = а + b — с
З. Скалярное произведение двух векторов
57
и вычислить его модуль по формуле
u = у7 (a + b — с)2.
411. Найти величину равнодействующей четырех компланарных сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы равна ЮН, а угол между двумя последовательными силами равен 45°.
412. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + п и b = т — 2п, где тип — единичные векторы, угол между которыми 60°.
