Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
13
должно быть однозначно или определено контекстом и не требовать специальных усилий.
Еще раз подчеркнем: сокращенные записи формул суть лишь их материальные знаки. При выборе сокращенной записи преследуются в основном психологические цели: быстрота чтения (возможно, в ущерб формальной однозначности), легкость возникновения полезных ассоциаций и трудность — вредных, соответствие привычкам автора и читателя и т. п.
Математическими объектами в теории формальных языков являются сами формулы, а не их записи.
Отступление об именах
Мы неоднократно говорили, что некоторый объект (значок на бумаге, элемент алфавита как абстрактного множества и т. д.) является записью, или обозначением, или названием другого объ-г екта. Удобный общий термин для такого отношения — имя.
Буква х есть имя некоторого элемента алфавита; войдя в формулу, этот последний станет именем множества или числа; запись х<=г/ есть имя некоторого выражения в алфавите А, которое, в свою очередь, есть имя некоторого суждения о неопределенных множествах и т. п.
В словесном оформлении имена объектов часто отождествляются с самими объектами: мы говорим «переменная х», «формула Р» «множество Z'». Это не всегда безопасно. Следующий пассаж из книги Россера «Логика для математиков» [6] указывает на некоторые подводные камни:
«...суть дела в том, что если у нас есть утверждение типа «3 больше 9/12» о рациональном числе 9/12, содержащее некоторое имя «9/12» этого рационального числа, то мы можем заменить это имя любым другим именем того же рационального числа, например «3/4». Когда же мы рассматриваем утверждение типа «3 делит знаменатель 9/12» о некотором имени некоторого рационального числа, и наше утверждение содержит некоторое имя этого имени, то это имя имени можно заменить другим именем того же имени, но, вообще говоря, нельзя заменить именем другого имени, хотя бы это другое имя было именем того же рационального числа».
Впрочем, продолжает Россер, «отказ от скрупулезного прослеживания этих тонкостей редко приводит к путанице в логике и еще реже в математике».
Эти тонкости, однако, играют немаловажную роль в философии и в практике математики.
«Роза пахнет розой, хоть розой назови ее, хоть как», — это верно, потому что розы существуют вне нас и пахнут сами по себе. Но гильбертовы пространства «существуют», видимо, лишь постольку,
14
поскольку мы о них говорим, и выбор слова здесь небезразличен. Имя «пространство» для множества классов интегрируемых с квадратом функций было одновременно кодом целого круга интуитивных представлений о «настоящих» пространствах. Оно организовывало мысль и вело ее в определенном направлении.
Удачное имя — мост между научным знанием и здравым смыслом, новым опытом и старыми привычками. Понятийную основу любой науки составляет сложная сеть имен вещей, имен идей и имен имен. Она эволюционирует сама и меняется ее проекция на реальность.
3. НАЧАЛЬНАЯ ШКОЛА ПЕРЕВОДА
3.1. Напомним, что формулы Li Set суть имена высказываний о множествах; формулы LtAr — имена высказываний о натуральных числах; в эти высказывания входят имена множеств и чисел, возможно, неопределенных.
В этом параграфе собраны первые образцы двустороннего перевода «арго-«—^-формальные языки». Одна из целей этой выставки— показать, насколько велики выразительные возможности L'iSet и LiAr, несмотря на крайнюю ограниченность средств выражения.
Как и в естественных языках, перевод не может быть задан жесткими правилами, неоднозначен и является творческим процессом. Сравните четверостишие Гессе с его переводом в эпиграфе к этой главе: важнейший инвариант перевода есть смысл, который, однако, прозрачен лишь для сведущего. Впрочем, это утверждает лишь перевод: в оригинале стоит «es kennt sie jeder».
Перед чтением дальнейшего следует просмотреть приложение к гл. II «Универсум фон Неймана». Подразумеваемая семантика Li Set относится к этому универсуму, а не к произвольным «кан-торовским» множествам. Более полное представление о смысле формул можно получить из § 2 гл. II.
Переводы Li Set — арго
3.2. ух (“1 (xG0)): «для всех (множеств) х неверно, что х является элементом (множества) 0» или «0 — пустое множество». Второе утверждение равносильно первому лишь в универсуме фон Неймана, где элементами множеств являются только множества, а не вещественные числа, стулья или атомы.
3.3. уг(г(Ех«—“cGy)"—*х~у:
«если для всех z верно, что z является элементом х, тогда и только тогда, когда z является элементом у, то верно, что х совпадает
15
с у, и наоборот» или «множество однозначно определяется своими элементами». В этом выражении пропущено по крайней мере шесть скобок; подформулы гея, гег/, х—у даны в не нормализованной по правилам записи.
3.4. yuyngxyz (г&с*—'?{z = u\/z — v)):
«для любых двух множеств и, v существует третье множество Я такое, что и, v являются его единственными элементами». Это — одна из аксиом Цермело — Френкеля. Множество х называется «неупорядоченной парой множеств и, V» и в приложении обозначается {«, о}.
3.5. уг/yz (({z^y /\y&)-^z^x) /\{ySx^~\ (*/?#))): „множество х
