Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Описание синтаксиса и семантики производится на метаязыке. Чаще всего это фрагмент национального математического жаргона. В нашей книге это понятие не формализуется; большая часть следующего текста является метаязыковой.
1.2. «Реальностью» для языков математики являются определенные классы (математических) рассуждений или вычислительные процессы, реализуемые с помощью (абстрактных) автоматов. В соответствии с тем или иным назначением эти языки делятся на формальные и алгоритмические. (Ср. в естественных языках противопоставление изъявительного и повелительного наклонения или на уровне текстов, сообщения и приказа.)
Разные формальные языки отличаются друг от друга, в первую I очередь, широтой охвата формализуемых типов рассуждений —< выразительностью, во вторую очередь — ориентацией на конкретные математические теории, в третью — отбором элементарных средств выражения (из которых затем синтезируются все остальные) и оформлением.
В этой главе систематически рассмотрен некоторый класс фор-I мальных языков. Алгоритмические языки привлекаются эпизодически.
; Восходящее к Гумбольдту и Соссюру противопоставление язык —речь столь же реально для формальных языков, как и для естественных.
В § 3 этой главы даны образцы «речи» на двух конкретных языках, ориентированных на теорию множеств и арифметику соответственно: навыки речевой деятельности должны предшествовать изучению грамматики.
Язык теории множеств принадлежит к числу самых богатых выразительными средствами, несмотря на свою крайнюю экономичность. На нем в принципе можно написать формальный текст, отвечающий почти любому фрагменту современной математики, — курс топологии, функционального анализа, алгебры или логики.
Язык арифметики — один из самых бедных, но его выразительных возможностей достаточно для описания всей элементарной арифметики, а также для демонстрации эффектов самоописания по Геделю и Тарскому.
1.3. В качестве средства общения, открытия, фиксации материала никакой формальный язык не способен конкурировать со смесью национального математического арго и формул, привычной для каждого работающего математика.
Однако в силу своей жесткой нормализованности формальные тексты могут сами служить объектом математического исследо-
9
вания. Результаты такого исследования являются теоремами математики. Они вызывают значительный интерес (и сильные эмо-ции), будучи интерпретированы расширительно — как теоремы о математике. Но именно возможность таких и еще более расширительных толкований определяет общефилософское и общегуманитарное значение математической логики.
1.4. Мы условились, что выражения и тексты языка являются элементами некоторых абстрактных множеств. Чтобы работать е ними, их нужно как-то фиксировать материально. По европейской традиции нового времени (в отличие от старовавилонской или новейшей американской, использующей память ЭВМ) принята следующая форма записи. Элементы алфавита обозначаются определенными символами на бумаге (буквами разных шрифтов, цифрами, дополнительными значками, а также их комбинациями). Выражение в алфавите А записывается в виде последовательности символов, читаемой слева направо, с переносами в случае нужды. Тексты пишутся как последовательность записей выражений с пробелами или знаками препинания между ними.
1.5. Большая часть интересных выражений и текстов на формальном языке имеет записи, которые либо физически чересчур длинны, либо психологически с трудом поддаются дешифровке и запоминанию в приемлемое время, либо то и другое вместе.
Поэтому их заменяют сокращенными записями (которые могут оказаться физически более длинными). Выражение хххххх можно сокращенно записать «х ... х (шесть раз)» или «х6»; выражение Y2(2eJC-<—*г^у) как «х=у», а выражение 101010 ... 10 как «последовательность длины 2п с единицами на нечетных местах и
2
нулями на четных» или «двоичная запись числа ~ (4П—1)». Сокращенная запись может быть также обозначением любого выражения определенного типа, а не только индивидуального выражения — это так называемые «метаязыковые переменные».
Со времен Виета, Декарта и Лейбница, к которым восходит наша традиция, сокращенная запись служит неиссякаемым источником вдохновения и ошибок. Нет ни смысла, ни возможности систематизировать ее приемы: на них неизгладимо отпечатались мода, дух времени, артистизм или педантичность авторов. Символы 2, / , е являются классическими образцами для подражания. Забытая запись Фреге для «Р и <3» (на самом деле «не (если Р, то не <2)», откуда асимметрия):
-----------Р
показывает, чего следует избегать.
10
Как бы то ни было, сокращенные записи пронизывают математику. Привычка к расчлененному триединству:
щортльный текст
/ \ запись текста — интерпретация текста,
заменяющая неосознанное отождествление высказывания с его формой и смыслом, должна выработаться у читателя одной из первых.
2. ЯЗЫКИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
В этом параграфе описан важнейший класс формальных языков 2 1 — языки первого порядка — и два конкретных представителя этого класса: язык теории множеств Цермело — Френкеля Li Set и язык арифметики Пеано LiAr. Другое название 2\— языки предикатов.
