Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
Покажем сначала, что а?1/1+1 для всех ординалов а. Это так для а = 0. Предположим, что а — наименьший ординал с а^Уа+!. Если а = (3+1, то (Зе=1^+1, откуда (3, Щ €=У9+2=3> (У&+1) и, значит, а = р-|-! = [Зи{р}€г У0+2 = Еа+1 — противоречие. Если же а—предельный ординал, то а— У 3 и ?0Ув+1СУв по выбору а,
так что а= и В и = и а-З^Зй (Уа) = Уа+| — противоречие. Таким образом, ранг а<а; аналогично доказывается строгое равенство.
15.
Универсум У замкнут относительно стандартных операций над' | множествами: разность, объединение, пересечение, образование } 3 (X) а и У, «собирание» множеств, пронумерованных некоторым |
множеством {Ху [ У 0 ^}- В ластности, если X, У €~Уа, то пара ] {X, У}0Уа+1. Мы пишем {.АТ} вместо {X, X}. |
16. Прямые произведения, отношения, функции также могут быть определены как элементы У с помощью приема, предложен- : но го Куратовским. Интуитивное представление об упорядоченной паре множеств X, УеУ реализуется с помощью множества |
<АГ, У) = {{*}, {*.У}}. ]
I
Упорядоченные пары как элементы V характеризуются следующими свойствами: это множества из двух элементов X', У'; один из них является подмножеством другого (скажем, Х'^У'); если Х'^У', то Х'=={Х} — одноэлементное множество, и его единственный элемент X называется первым членом пары; У является не более чем двухэлементным множеством, и его отличный от X элемент У (если он есть) или сам X (в противном случае) называется вторым членом пары. Поэтому (Х,У) = {ХУ) в том и только том случае, когда Х=Х', У=У/, что оправдывает название. •;
Подчеркнем, что это определение вводится для того, чтобы при конструкции прямых произведений не выходить за пределы V и чтобы множество, отвечающее прямому произведению, можно было описать только в терминах отношения е, т. е. на языке ЦБе^ Упорядоченная н-ка множеств определяется как
<*,....*„) = <...«*„*,), X,)...).
108 __
Прямое произведение:
XXY = {(U, W)\U&X, WSY}.
Аналогично
*ix ... xi„= (... (№xa2)xa3) •••)•
Заметим, что, вообще говоря, (XXY)XY=Y=XX (YxZ): между эти-ми множествами существует лишь каноническое взаимно-однозначное соответствие. Отождествление их и запись XxYxZ является вольностью, обычно безобидной.
Бинарное отношение (или соответствие) г есть множество (или класс), элементами которого являются только упорядоченные пары. Если геУ — отношение, то его область определения dom (г) есть класс всех первых членов элементов г, а область значений rng (г) есть класс всех вторых членов.
Функция есть бинарное отношение, каждый элемент которого однозначно определяется своим первым членом. Таким образом, функции как отображения множеств в V отождествляются со своими графиками. Если / — функция, мы часто пишем W=f(U) вместо {U, W) G f • Кроме того, f-4X)={Y\f(Y)e=X},
f].x = {(U,W)Gf\UeX)}.
Семейство {A'r}r„z как элемент V по определению есть’ функция, состоящая из пар {(У, XY) | н т. п.
Еще раз подчеркнем: самое главное в этих определениях то, что мы не вводим никаких новых объектов, кроме элементов V, и никаких новых отношений, кроме выразимых в терминах е. Стоит также отметить, что в соответствии с обычным (экстенсиональным) пониманием, свойство элементов множества X из V есть множество Y^X (состоящее из всех элементов с этим свойством). Поэтому УеУ, так что свойства, и свойства свойств, и свойства множеств свойств... (с трансфинитной интерацией) суть элементы V.
Универсум V заслуживает своего имени.
17. Покажем, наконец, что цепочки Х\^Х2^ ... из элементов V обрываются (конечно, на пустом множестве). Мы установим, что если X непусто, то существует Y&.X с У f) Х—0 (обрыв цепочек получается, если применить это утверждение к множеству X членов цепочки). Действительно, пусть У — элемент наименьшего ранга в А (он существует, ибо ранги, будучи ординалами, вполне упорядочены). Если бы оказалось, что X f) Y=?0, то элемент УеА П ПК имел бы ранг, меньший ранга У, — противоречие.
18. Связь с аксиомами LiSet. Точка зрения, принятая в этой книге, состоит в следующем.
107
Интуитивные представления о множествах, к которым мы апеллировали в предшествующем изложении, строя универсум V, являются первичным материалом. Язык Т^Эе! изобретен для того, чтобы писать на нем формальные тексты, эквивалентные нашим содержательным рассуждениям относительно V. Аксиомы ЦЗе! (включая логические) получены в результате анализа содержательных доказательств. Критерием полноты их списка служит возможность написать формальный вывод, являющийся переводом любого содержательного доказательства. Эта возможность должна быть продемонстрирована компендиумом формальных текстов достаточного объема. Читатель найдет их в других книгах.
В частности, в ЦБе! можно написать и вывести из аксиом формулу «ух д ординал я (х Ка)», формально отражающую наше ограничение множествами из V.
Вопрос о формальной непротиворечивости аксиом Цермело — Френкеля должен оставаться предметом веры, пока и поскольку не продемонстрирована их противоречивость. Все те доказательства, которые были основаны на них, до настоящего момента не привели к противоречию, но развернули перед нами богатый мир классической и современной математики. Этот мир обладает некоторой реальностью и внутренней жизнью, мало зависящей от формализмов, призванных его описывать.
