Доказуемое и недоказуемое - Манин Ю.И.
Скачать (прямая ссылка):
100
3. Первые этажи. Универсум фон Неймана строится индуктивно начиная с пустого множества последовательным применением операции «множество всех подмножеств». Тем самым
у.= 0.
у;=з*(0) = {0},
Уг = ^(У1) = {0,{0}},
Vn+1 = $>(Vn),
Легко видеть, что Vп<СУп+1 (позже это будет доказанопол-
г
ной общности). Этаж состоит из 22 (п—1 двоек) конечных
множеств, элементами которых, в свою очередь, являются конечные множества, и т. д. Выйти за пределы конечных множеств нельзя, если не обратиться к рассмотрению всех Уп как «уже построенных», к объединению которых снова применяется операция 9*. Полагаем
У-.=У_Л
Коо+1 == ^ (^0) >
Индексы, которыми теперь помечаются этажи, суть имена первых бесконечных ординалов. Кантору принадлежит эта замечательная идея трансфииитного итерирования конструкций, которую он впервые применил к исследованию тригонометрических рядов, и затем исследовал систематически, найдя в ней ключ к бесконечному.
В продолжение ближайших двух пунктов наши множества временно являются канторовскими. Мы вернемся к универсуму V, несколько ознакомившись с ординалами.
4. Ординалы.
Пусть X — некоторое множество, на котором задано бинарное отношение <. Рассмотрим следующие свойства этого отношения:
а) У < У для всех УеХ; если Yj<Y2 и Уг<Уз, то У1< Уз;
б) для любых У, ZeX, либо Y<Z, либо Z<Y, либо Y—Z\
в) любое непустое подмножество X имеет наименьший (в смысле <) элемент.
Отношение < частично упорядочивает X, если оно удовлетворяет а); линейно упорядочивает X, если оно удовлетворяет а) и б); вполне упорядочивает X, если удовлетворяет всем трем условиям
а), б), в).
101
Пусть (X, <) вполне упорядочено. Начальный отрезок ?, опре-деленный элементом УеХ,— это вполне упорядоченное множество (1, <), где Х={У'|У'<У}. Как принято, говоря о вполне упорядоченном множестве, мы можем опускать явное указание порядка,
если оно ясно из контекста.
5. Лемма.
Пусть X, У — два вполне упорядоченных множества. Тогда имеет место ровно одна из трех альтернатив:
а) X и У изоморфны-,
б) X изоморфно начальному сегменту У;
в) У изоморфно начальному сегменту X.
Изоморфизм, существование которого утверждается, определен однозначно.
Доказательство. Разобьем рассуждение на несколько шагов.
а) Пусть X вполне упорядочено, 1:Х—*Х— монотонное отображение, т. е. 2, (2,)<7(22). Тогда для всех КЕ^Х имеем
Действительно, среди элементов, не обладающих этим свойством, должен был бы существовать, наименьший, скажем 20. Но из 1(1о)'<Х0 и монотонности f следовало бы /(/(20)) </(20), так что нашелся бы и еще меньший элемент.
б) Поэтому X не изоморфно никакому своему начальному отрезку Хг: еели I: X Л то / (Лг1) < Аг1.
в) Пусть теперь X, У вполне упорядочены. Положим /={(А’„ Уг) 1 Ху X, У,?У и существует изоморфизм Ху с ?,}. Прежде всего, /^ХХУ есть график взаимно-однозначного отображения ргф на рг2/. Действительно, если ХхФХ2, скажем Х1<Х2, то в силу
б) Хг не изоморфно Х2; по симметрии то же верно для ^!. Отсюда же видно, что [ и /-1 монотонны.
Далее, если ХхОргф и Х2<ХЬ то Х2^рЫ и аналогично для РЫ-
Покажем, наконец, что либо ргф=Х, либо рг^—У. Иначе существует минимальный элемент Х1 из Х\ргф и минимальный элемент У1 из У \ рг2}. Но в силу вышесказанного $ индуцирует изоморфизм Хх с ?1. По определению / тогда <Х\, Уг>^1— противоречие.
г) Все сказанное означает, что либо / есть изоморфизм (точнее, его график) множества X на начальный сегмент У или У, либо
есть изоморфизм У на начальный сегмент X. Из определения / ясно, что график любого другого изоморфизма должен содержаться в графике /, откуда следует единственность. Лемма доказана.
В качестве предварительного определения мы можем теперь рассмотреть класс всех вполне упорядоченных множеств, изоморфных данному вполне упорядоченному X, и назвать его ординалом.
102
Два ординала а, р связаны отношениями а=р, а<р или а>р в зависимости от того, какая из трех альтернатив леммы 5 выполняется для представителей 1еа, И=р (от выбора представителей это отношение, очевидно, не зависит).
Следующий шаг, естественно, состоит в том, чтобы рассмотреть «все» ординалы как класс и показать, что <( индуцирует на нем отношение полного порядка, получив таким образом универсальную шкалу полного порядка. Здесь, однако, возникает излишняя сложность: класс вполне упорядоченных множеств, изоморфных данному X, непомерно велик, и класс ординалов должен быть «классом классов», что бессмысленно усложняет дело. Фон Нейману принадлежит изящная техническая находка, снимающая эту трудность: вместо многообразия навязанных извне отношений порядка на X рассмотреть единственное отношение, заданное внутренними свойствами.
6. Определение.
Ординалом называется множество множеств X, которое вполне упорядочено отношением е между его элементами и транзитивно, г. е. удовлетворяет условию: если то 2<=Х.
7. Теорема.
а) Класс ординалов Оп вполне упорядочен отношением аер {мы будем записывать его также а< р).
б) Любое вполне упорядоченное множество изоморфно однозначно определенному ординалу а, а также однозначно определенному начальному отрезку ординалов (меньших а у {а}).
