Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
b(k+i) =$лРя =$пХп [-$пУп1 +спа„) =
= s„[-snc„-.*„ +s«(tL)x»-i] = ' ' '*
= sn[-*ncn-i*n +sn(~- )(-«я-1*я-а*я-» =
(В.17)
¦п-1
Во втором из этих преобразований использована формула (В.9), затем последовательно формулы (В.13), (В.14) и (В.12) и, наконец, в предпоследнем переходе -формулы (В.З), (В.13) и (В.14). Исключая р„_| из (В.11) и (В. 16), находим
в(*«) = -Л^ . (B.i8)
S"
Теперь из (В.17) и (В.18) получаем
=-s„s>n_xcn_2bnbn_ J^- )• (В.19)
Из формулы (В.4), записанной в виде | bjf* fajfJi I *» I. ¦ формулы (В.17) выводим
+ К I*?!,!. *»1,2,... (В.20)
Из (В.19) следует, что < . < ¦
\b(f*1)b<f*l1>\<\b(*>b<tlt\, * = 1,2,...', (В.21)
поэтому последовательность \b^ b ^ | сходится при /с к пределу Z, > 0.
188 ]
Лемма В.22. Предел L равен нулю.
Доказательство. Предположим, что L > 0. Переходя к пределу при к в обеих частях равенства (В.19), получаем
|6?>/*-<*), |-1, (В.23)
l^l-M, (В.24)
k?>al-*l, (В.25)
(*(*!,)J "М- (В.26)
Из (В. 10), (В.24) и ограниченности последователыюстн {p**J,) (см. лемму В.2) выводим, что
х<*>, -+0. ' i (В.27)
Поэтому, согласно (В.13) н (В.14),
«(«}. СУ . - *?}. сп] i*V , - °- (В.28)
Я — I И — 1 я — in — 2 п — 1 v '
Так как (В.26) подразумевает, что с^к}{ -*0, тоиэ (В.28) следует
^VIV?-, -°- (в-29>
Из (В.25), (В.26) и (В.29) вытекает, что Ь , -»¦ 0. Поскольку последовательность (*>„**) ограничена, отсюда следует \ Ь^\ХЬ^ | -»¦ 0, что противоречит предположению L > 0. Это доказывает лемму В.22.
Лемма В.30. Последовательность (| Ь I} , А: = 1, 2,..., содержит произвольно малые члены.
Доказательство. Фиксируем число т > 0. По лемме В.2 последовательности и {|6„*2, 1} ограничены. Поэтому, согласно лемме В.22, найдется целое число к, для которого либо
I г. (В-31)
либо
I^Kr. (В.32)
Если выполняется (В.31), то нз (В.20) выводим < т. Итак,
для любого г > 0 существует номер к, зависящий от г, для которого I b | < т. Лемма (В.30) доказана.
" л
Лемма В.ЗЗ. Если т > 0 достаточно мало, а номер к таков, что I Ь <*> | < т, го IЬ <*> | < т для всех Аг > ?.
Я Я ,
Доказательство. Пусть 6 = min { I X, - |: / Ф j) . Заметим, что 5 > 0, так как собственные значения X, матрицы А различны. Положим
t [1 +г/(6 -Зг)]
/(0 = -Цг^-— • <в-34)
о — Зг
189
Пусть т0 > 0 настолько мало, чтобы выполнялись условия: т0 < 5/3,
/Ы < 1, df(t)
dt
> 0, 0<t<r0.
(В.35) (В.36)
(В.37)
Выберем число г в интервале (0, т0), и пусть к - целое число, для которого
\ь<?и<т.
Удобно будет ввести обозначение
(В.38)
(В.39)
Если = 0, то алгоритм сошелся. В противном случае без ограничения общности можем считать, что е > 0.
Так как а а *, = е2, можно написать
г(*)
п -1
(В.40)
Пусть pi.....M„_i — собственные значения симметричной матрицы В порядка п - 1, а \1,\'п - собственные значения матрицы Ак — ак1п. По
теореме 5.1 упорядоченные собственные значения матрицы Ак собственные значения матрицы
В О О
akJn и
я-1
различаются не более, чем на е. Поэтомуяыгюлняются неравенства
|Х,'-/и, |<е, / = 1,.... л - 1,
(В.41)
п-1
< е.
где числа \'{, возможно, подверглись переиндексации. Из тождества
м(=м(-х; + х;-х; +х; - —
(*)
190
следует
l№f|> ix;-x'„i-i/u,-x;i
X'„-
- (*)
i = 1.....я - 1. (B.42)
Применяя теперь (В.41) для второго и третьего членов в правой части неравенства (В.42), замечая, что IX)-Xn| = I X, - Хп | > 6, и, наконец, используя для четвертого члена формулу (В.4) вместе = е, имеем
\ц. |>5-Зе, / = 1.....я — 1. (В.43)
Перед последним шагом приведения матрицы Ак-ок1„ к верхнему треугольному виду нижняя угловая 2 X 2-подматрица устроена так:
e2/J<*>
' и - 1
(В.44)
Это следует из (В.З), (В.7), (В.14) и (В.39).
Заметим, что в формуле (В.44) *п*_\ - диагональный элемент верхней треугольной матрицы порядка и - 1, полученной в результате левого умножения матрицы В из (В.40) на последовательность из и — 2 матриц вращения. Поэтому, согласно (6.3) й (В.43),
| > min IaU > 6-Зе. (В.45)
По завершении подобного преобразования из (В.З), ДО9), (В. 13), (В.17) и равенств у як) l=c{k\b {к) = с ^ t е выводим
A(* + i) (*)_(*) =г _,(*)„(*) = ,
я п н п v я и я 'я -1' я
/e2c(fc) \ ' г f
= (-— - ес<*>в<*>Ь<*> . *;
Дя-1
Теперь из (В.11) и неравенства (В.45) следует
,s(*), =-!- < -!-. (В.47)
[(*(„*!,)2 + е2]1/2 5-3e
Наконец, согласно (В.46) и (В.47),
|А<*+«>|<--- +---. ;' (В.48)
и^.Кб-Зе) («-Зе)г
Неравенство (В. 48) показывает, что если последовательность{ I я„(*\ I } ограничена снизу положительным числом, то сходимость асимптотически будет кубической. Однако в общем случае из (В. 4) следует лишь, что
191
a1 > е; поэтому
и — I
«.д... е'+е'Кв-Зе) " 8 - Зе
или с привлечением (В. 34) и (В. 39)
!*(*¦¦>,< [*<*>Г lt^'-3fty>) = *№>/(,(*>). (в. 50)
6-ЗЬ{к)
я
Из условий (В.36)-(В. 38) вытекает, что f(bnk^)< 1, откуда
!*(*¦¦> |< (В.51)
По индукции выводится, что неравенства (В.50) и (В.51) с к, замененным на к +/, справедливы для всех / = 0,1,... Этим доказательство леммы В. 33 заканчивается.
