Численное решение задач метода наименьших квадратов - Лоуcон Ч.
Скачать (прямая ссылка):
\\А || = max (Ми||: ||u|| = 1} . (АЛ)
Нам часто придется использовать и норму Фробениуса (называемую также нормой Шура или евклидовой матричной нормой) матрицы А, которая обозначается через \\А \\F и определяется формулой
m п
MIIF=(Z ZeJ)"2. (А.2)
i=i /=1
Спектральная норма и норма Фробениуса удовлетворяют соотношениям
max |«,.| < \\А \\<\\А » < k1!2 \\А ||, (А.З)
'./
где А - m X л-матрица, а к = min (m, л).
Обе названные нормы удовлетворяют трем свойствам абстрактной нормы и, кроме того, мультипликативным неравенствам
IIАВ || < \\А || || В ||, \\АВ \\F < || A \\F || В \\F.
Символ 0 будет обозначать нулевой вектор или нулевую матрицу; что именно и размерность величины определяются контекстом.
Система векторов vlt...,vk называется линейно зависимой, если существуют скаляры c*i, ..., ак, не все равные нулю и такие, что
к
1 a,v, = 0. "i (А.4)
f = i
Обратно, если условие (А.4) выполняется лишь при at = ... = ак = 0, то векторы линейно независимы.
Множество всех л-мерных векторов образует л-мерное векторное пространство. Заметим, что если и и v — элементы этого векторного пространства, то это же верно для и + v и а и, где a - произвольный скаляр. Указанные два условия замкнутости относительно сложения векторов и умножения вектора на число характеризуют абстрактное определение векторного пространства. Однако нам придется иметь дело только с конкретным конечномерным векторным пространством, элементами которого являются наборы из л действительных чисел.
Если подмножество Т векторного пространства S замкнуто относительно сложения векторов и умножения вектора на число, то Т называется подпространством. Существует максимальное число линейно независимых векторов в подпространстве Т. Это число m есть размерность подпространства Т. Максимальная система линейно независимых векторов подпространства Т называется базисом Т. Каждое подпространство Т размерности
181
т > 1 имеет базис. При этом для любой системы т к,к < т, линейно независимых векторов /и-мерного подпространства Т найдутся в Т m - к добавочных вектора такие, что вместе зти m векторов составляют базис 71 Если векторы их,ыш образуют базис Т и и G Т, то существует един-
m
ственный набор скаляров а,, для которого и = L а,и,.
t = i
Оболочкой системы векторов vt.....vk называется множество всех
линейных комбинаций этих векторов, т.е. множество всех векторов вида *
и = 2 atvt, для произвольных скаляров а,. Оболочка системы из к векторов является подпространством размерности m, т <к.
Некоторые подпространства возникают естественным образом в связи с матрицами. Так, с т X л-матрицей А мы связываем образ, или пространство столбцов, т.е. оболочку ее столбцов; нулевое пространство, или ядро, т.е. множество {х: Ах = 0} , и пространство строк, т.е. оболочку строк. Заметим, что пространство строк Л совпадает с образом А т.
Часто бывает полезно следующее замечание: образ произведения матриц, скажем А = UVW, есть подпространство образа самого левого сомножителя произведения - в данном случае U. Точно так же пространство строк А есть подпространство пространства строк самого правого сомножителя - в данном случае W.
Пространства строк и столбцов матрицы А имеют одинаковую размерность. Это число называется рангом матрицы А и обозначается через rankA Матрица АтХп имеет неполный ранг, если ran к Л < min (m, и), и полный ранг, если гапкЛ = min (т,п). Квадратная матрица АпХпневырождена, если гапкЛ =и, и вырождена, если rank А < п.
Вектор v ортогонален к подпространству Т, если v ортогонален к каждому вектору из Т. Для ортогональности к Т достаточно, чтобы v был ортогонален к каждому вектору некоторого базиса Т. Подпространство Т ортогонально к подпространству U, если любые векторы t G Т и ы€ U ортогональны друг другу. Если подпространства Т и U ортогональны, то прямой суммой Т и U называется подпространство, обозначаемое через V- Т® Uк определяемое как
v= {v. v = t + u, te т, ueu).
Размерность V равна сумме размерностей Т и U.
Если Т и U — взаимно ортогональные подпространства и-мерного векторного пространства S и S = Т ® U, то Т и U называются ортогональными дополнениями друг друга. Это записывается так: Т = U1 и U = Т1. Для любого подпространства Т существует ортогональное дополнение Т1. Если Т — подпространство S и s G S, то найдутся единственные векторы t G Т и и € Т1 такие, что s = t + и. Для этих векторов выполняется условие Пифагора: || s ||2 = || г ||2 + || и \\2.
Линейное многообразие — зто сдвиг подпространства, т.е. если Т — подпространство S и s G S, то множество L = { v: v = s + t, t & T) есть линейное многообразие. Размерность линейного многообразия определяется как размерность (единственного) ассоциированного с ним под-
182
пространства Т. Гиперплоскость Н в л-мерном векторном пространстве S — зто и — 1 -мерное линейное многообразие.
Если Я - гиперплоскость и л0 е Я, то Г = {f.t = л - я0,яе Я} - л - 1-мерное подпространство, а Т1 одномерно. Если и € Г1, то игл имеет одно и то же значение (скажем, d) для всех л ? Я. Таким образом, для заданных вектора и и скаляра d гиперплоскость Я можно охарактеризовать как множество {х: итх = d) . В практических вычислениях гиперплоскости появляются именно через характеризацию этого типа.
