Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть дана диаграмма А, для которой предложение неверно, хотя оно верно для всех диаграмм с меньшим числом граней. Отсюда получится противоречие. Мы рассматриваем сначала случай, когда т>1, а затем сводим к нему и случай т=\.
Пусть т>\. Пусть Ki— подкомплекс в А, состоящий из всех (замкнутых) граней с граничными метками rm, a K2 состоит из всех граней с граничными метками t1 для Km. Если произвольная компонента из Ki не односвязна, то она заключает в себе некоторую компоненту из K2, а если последняя не односвязна, она заключает в себе другую компоненту комплекса Ki- Продолжая таким образом, мы найдем или односвязную компоненту Aj комплекса Ki, или односвязную компоненту A2 комплекса K2, которая полностью заключена в Ki, т. е. OA2^dKi- Ясно, что Ai и A2 — это диаграммы, с меньшим числом граней, чем А.
Если получилась диаграмма A1, то можно утверждать, что ни одно из ребер е границы OAx не имеет метки хь (хь — наибольший из X Q X0, входящих в гт, а значит, наибольшая из всех меток на A2). Если е лежит на <ЭА, то это верно по предположению. В противном случае е отделяет диаграмму Ax от некоторой клетки F с граничной меткой Ti, Km, и е<рфхь, ибо хь не встречается в rt. Это противоречит предположению индукции.
Если же мы получим диаграмму A2, то пусть ха — наименьший из XQX0, встречающихся как метка на ребрах A2. Тогда ха — наименьший X Q X0 для некоторого г і при Km и не встречается в гт. Следовательно, ха не встречается как метка на границе никакой клетки с граничной меткой гт, а поэтому и на дКъ Так как OA2S ^=дКі, то ха не встречается как метка на дД2, что (после обращения порядка) приводит к противоречию с предположением индукции.
Теперь мы будем сводить случай т=\ к уже рассмотренному случаю т>\. В доказательстве Магнуса случай т=\ (одно соотношение г с нормальным замыканием N в свободной группе F) сводится к случаю бесконечного числа более коротких соотношений rt в некоторой подгруппе Fi, причем N есть нормальное замыкание всех t1 в Ft. В данном контексте аналогичную роль играет изменение меток диаграммы А, возможно, после подразделения ребер. Вообще говоря, в А, быть может, после подразделения ребер, будет некоторое «случайное» совпадение меток на некоторых ребрах в том смысле, что некоторые ребра несут одинаковые метки, хотя все предположения будут сохранять силу и в том случае, если метки на этих ребрах выбраны различными. Некоторые технические соображе-
214 Гл. ///. Геометрические методы
ния, приводимые ниже, направлены на то, чтобы исключить такие случайные совпадения. За исключением нескольких легко перебираемых случаев, это ведет к диаграмме Л' с /п'>1 и измененными метками, такой, что утверждение для А' влечет за собой доказываемое утверждение и для А.
Впредь мы считаем, что т=\, и введем циклически приведенную запись r=yx.. .уп, п>\, yiQL. Мы предполагаем, что все xQX входят в г, но некоторый x0 не встречается как метка ни на каком ребре границы дА. Очевидно, можно считать в дальнейшем, что г не является истинной степенью. Допустимо также предположение, что т содержит x0 более одного раза, ибо в противном случае группа G обладала бы базисом X—{х0}.
Для обозначения «позиций» в слове г (и обратном к нему) используем множество Р={\, ... , п}х{+1, —1}; удобно будет писать (i, +I)=T); и (і, /)-1 = (г, —/). Определим функцию л: P -+L = =Х U X-1, полагая ц?1л=у?:1, так что r\tn — это буква, встречающаяся на месте т)і в г. Поскольку г не является истинной степенью, для каждой грани F существует единственная базисная петля уР с началом в базисной точке vF на dF, обходящая dF в том или ином направлении и такая, что у<р=г. Если yF=ex.. .еп, то положим ef1^P=1^t1. Если ребро е лежит между двумя гранями F1 и F2, а Pi=^1IV1, P2=?^Pf2, то мы считаем, что px~p2. Транзитивное замыкание этого отношения на P обозначается через pi«p2. Из определения следует, что рх~р2 влечет за собой ргх~РГх и РіЯ=р2я. Значит, рі«р2 влечет за собой Pf1^p2-1 и ptn=p2n. Поскольку уфу~1 для у QL, то Pt^p-1.
Пусть L — множество классов эквивалентности [р] элементов из P при отношении piA;p2. Обозначим через X множество таких [р], что ря?Х, и положим [р]-1 = [р-1]. Тогда L=XuX-1 и Xn Г)Х-1 = 0. Пусть F — свободная группа с базисом X. Тогда отображение я: P -vL индуцирует отображение, которое по-прежнему обозначается я, из L на L, переводящее X на X, и оно продолжается до гомоморфизма я из F на F. Введем функцию ср, сопоставляющую ребрам из А метки из L, полагая eq>=[etyF\, где е принадлежит границе dF. Тогда А превращается с этой новой функцией меток в диаграмму над представлением (X; г), где г=уъ . .уп, Уі=ІЦі]. Заметим, что ср=сря и что, если х0 Q X, причем x0U=x0, то х0 является меткой на некотором ребре в А, но не является меткой ни на одном ребре из дА.
Теперь можно опустить тильду, получив еще одно условие:
если yt=yfl, то ть^ЛГ"1-
Пусть ц. — произвольный гомоморфизм из F в аддитивную группу целых чисел Z+, такой, что гр=0. Тогда для любой базисной пет-
9. Сингулярные подкомплексы
215
ли Y/7, а значит, и для любой петли у в А имеем уф(х=0. Следовательно, если oi, б2 — два пути из одной вершины в другую, то 8іфЦ=о2фц,. Выберем грань F0 с базисной точкой vF и для всех вершин и из А определим vo как общее значение бфр. для всех путей б из vFo в V.
