Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
9. Сингулярные подкомплексы
SAH'
меченный таким образом сингулярный подкомплекс 5 будем называть диаграммой над представлением (X; R). Заметим, что связная диаграмма S более или менее однозначно определяет отображение / из S в С: для данных вершин v в S и v' в С существует ровно одно отображение / из 5 в С, которое сохраняет метки и переводит v в v'.
Мы будем сейчас рассматривать только два основных типа сингулярных комплексов S. В первом случае 5 является связным и односвязным собственным подкомплексом комбинаторной сферы и называется простой диаграммой или сингулярным кругом. Во втором 5 есть вся комбинаторная сфера и называется сферической диаграммой или сингулярной сферой. Нам будут встречаться также диаграммы, являющиеся дизъюнктными объединениями конечного числа поддиаграмм этих двух типов. Если диаграмма Sj сферическая, то граница dSt пуста. Если же Sj — это непустой сингулярный круг, то граница <3S. непуста, и, начиная с любого направленного ребра Єї на dS;, получим единственное направленное ребро ег над Si, начало v которого совпадает с концом ребра ех и такое, что не существует элементов в S1, инцидентных сии лежащих правее отрезка Є\Єг. Продолжая так, мы составим цикл ребер elt ... , еп на границе диаграммы S1, каждое из которых связано с предшествующим (в циклическом порядке), как указано выше, причем они исчерпывают dSt. Петля р=еь . .еп, которая не обязательно является простой, будет в этом случае называться граничным путем или граничным циклом для Si, а метка на р — граничной меткой.
Как мы видели (4.2), комплекс Кэли C=C(X; R) для представления G=(X; R) односвязен. Однако неверно, что каждый замкнутый путь в С ограничивает сингулярный комбинаторный круг (S1 /) в нашем теперешнем понимании, ибо нельзя требовать, чтобы / сохраняло размерность. Чтобы исправить это, мы заменили выше понятие сингулярного комбинаторного круга понятием простой диаграммы. Ниже мы увидим (9.2), что каждый замкнутый путь в С есть образ границы dS при отображении некоторой простой диаграммы SbC Пример этой конструкции приведен в V.l.
Начнем с описания некой модификации диаграммы (или сингулярного подкомплекса S в определенном выше смысле) в случае, когда некоторая граничная метка не является приведенным словом. Допустим, что некоторая компонента S1- диаграммы S имеет граничный путь р=ех.. .еп, граничная метка которого оказывается не-приведенным словом. Тогда два соседних ребра et и ei+1 имеют про-. тивоположные метки и будут поэтому отображаться в противоположные ребра в С Если е, и ei+i — противоположные ребра в S1, то они образуют «отросток» на границе компоненты Sj. Удаление этих двух ребер вместе с вершиной, которая является концом для et и началом для ei+1, дает диаграмму SJ с граничным путем р' = • .Єі_іЄі + 2. • .еп, который не может быть тривиальным (т.е. Sj получена из Sj уничтожением отростка). Если et и еі+і не явля-
209
210
Гл. III. Геометрические методы
ются противоположными в Sj, a etei+l — не петля, то можно отождествить 6; и ejii, чтобы получить новую диаграмму S't с нетривиальным граничным путем р', как и выше. Если же p=etei + 1 есть петля, ограничивающая S1, то мы опять отождествляем et и ej1^ но теперь получаем сферическую диаграмму S- с пустой границей. Мы называем все эти операции склеиванием границы диаграммы S.
Остается возможность, когда etel + 1 является петлей, но ограничивает только часть T диаграммы S,. В этом случае T и дополнение UkTbSi имеют только одну общую вершину. Мы сперва разделим их, т. е. заменим UhT изоморфными непересекающимися комплексами Sc и T'. Далее, так как у 7" граничный путь будет изоморфной копией петли etei + i, мы можем, как и выше, склеить эту петлю, заменив таким образом T' сферической диаграммой S'J. Мы называем операцию замены диаграммы S, двумя комплексами Si и S"t разрезанием с последующим склеиванием.
Предложение 9.1. Если S есть сингулярный подкомплекс (в определенном выше смысле), то при помощи последовательного разрезания и склеивания можно получить сингулярный подкомплекс S', каждая из компонент S1, ... ,Sn которого является или сингулярным кругом с приведенной (при любой начальной точке, т. е. циклически приведенной) граничной меткой или сингулярной сферой.
? Это выводится из определения разрезания и склеивания индукцией по полной длине границы dS. ?
Важным следствием предыдущего предложения является такая теорема ван Кампена [19331.
Предложение 9.2. Пусть G=(X; R) и w — приведенное слово, представляющее элемент нормального замыкания N множества R в F. Тогда существует простая диаграмма S* над диаграммой Кэли C=C(X; R), такая, что граничная метка на S* с началом в вершине, и есть w.
? Заметим, что случай W= 1 не является исключением; при этом получается тривиальная диаграмма S* с единственной точкой v. Чтобы устранить рассмотрение вырожденных случаев, считаем, что тф\ в свободной группе F. Поскольку w содержится в N, это есть приведенная форма некоторого неприведенного слова до' вида w'=plr1p1~1. .. • ¦¦Рп.гпРп\ где все г і лежат в RuR'1- Для каждого W1=PiT1PJ1 построим диаграмму S1-, состоящую из пути pt с началом в єершине V1 и концом в точке u1-, за которым следует петля с началом v\ и меткой г і и путь pi1, возвращающий в V1. Итак, S1- есть диаграмма с граничной меткой wt. Если мы выберем вершину у в С и потребуем, чтобы vtfi=v, то сингулярная диаграмма (S1, /;) определится однозначно. Пусть S — объединение всех Si с отождествленными вершинами vt (и без других общих вершин), а / — объединение всех
