Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Теперь видно, что операция переноса уменьшает число плохих вершин. Поэтому после конечного числа переносов мы перейдем к стандартной проекции. Тип узла при этом не меняется ввиду того, что мы использовали только допустимые преобразования узла. ?
Пусть П — проекция, являющаяся стандартной, но не элементарной. Удалим из каждого ребра, общего для границ областей X0 и Xi, по одной точке, не являющейся точкой пересечения. Это разбивает проекцию Il на части У,, которые при соединении их свободных концов превращаются в элементарные проекции. Назовем части J1 элементарными частями проекции П.
Если читатель вычислит представление Дэна для группы Н, возникающей из альтернированной стандартной проекции, не явля-
362
Гл. V. Теория малых сокращений
ющейся элементарной, например из проекции с рис. 8.3, он увидит, что условие С (4) не выполняется. Впрочем, в указываемом ниже смысле это представление является достаточно приятным. А именно пусть F — свободная группа, a R — конечное симметризованное множество ее элементов длины четыре. Скажем, что R удовлетворяет условиям С (4) и T (4) для минимальных последовательностей, если выполняются следующие два условия:
(1) Если в двух элементах T1, т2 множества R сокращается две или более букв, то или T2=Tf1, или гу2 — элемент множества R.
(2) Если гь г2, г3 — элементы из R и во всех произведениях т\г2, г2г3 и T3T1 имеется сокращение, то T1Zv3 — произведение не более двух элементов множества R.
Лемма 8.4. Пусть F — свободная группа, RsF — конечное симметризованное множество элементов длины четыре и N — нормальное замыкание для ReF. Если R удовлетворяет условиям С (4) и T (4) для минимальных последовательностей, то в G=FfR разрешимы проблемы равенства слов и сопряженности.
? При рассмотрении проблем равенства и сопряженности мы фактически нуждались только в диаграммах для минимальных последовательностей. Из предположения относительно R следует, что если M — диаграмма минимальной последовательности, то M есть (4,4)-карта. Таким образом, доказательства теорем 6.3 и 7.6 решают проблемы равенства и сопряженности в группе G. ?
Пусть К — альтернированный узел и П — альтернированная стандартная проекция этого узла. Допустим, что узел не является элементарным, так как в противном случае можно прямо использо-
Рис. 8.3.
8. Приложения к группе узлов
363
вать теорему 8.2. Оставшаяся часть настоящего раздела посвящена доказательству того, что группа H может быть представлена таким образом, что для минимальных последовательностей выполняются условия С (4) и T (4).
Выберем ориентацию узла К- В каждой элементарной части J1 рассмотрим первое и последнее встречающиеся при обходе узла пересечения. Поскольку П альтернированная проекция, без потери общности можно предположить, что первое пересечение проходится сверху. Это пересечение называется верхним пересечением части
Рис. 8.4.
J1. Подобным же образом последнее пересечение называется нижним пересечением для J1. Определим области Ut, Vt, P1, Q1 следующим образом. Области Ut и V1 — это области в точке нижнего пересечения для У/, отличные от X0 и X1, причем U1 примыкает к X0, a Vi примыкает к X1. Области P1, Qt — это области в точке верхнего пересечения для J1, отличные от X0 и X1, причем Pi примыкает к X0, a Qi примыкает к X1. (См. рис. 8.4.) Возможно, что P1 = U1 или Qi = Vt, но оба эти равенства выполняться не могут, поскольку в этом случае P1 и Qt примыкали бы друг к другу вдоль двух различных ребер, что противоречило бы элементарности узла У,.
Заметим, что в представлении Дэна симметризованное множество соотношений, получающееся из соотношения, возникающего в точке верхнего пересечения для У,-, порождено элементом X1X0-1P1-Qf1, а соответствующее множество для точки нижнего пересечения порождено элементом X0-1X1Vj-1IVj-1. Представление, которое мы рассматриваем, является представлением Дэна, пополненным симметри-зованным множеством, порожденным соотношениями PiQr1QjPT1 (которые мы назовем производными соотношениями, соответствующими верхнему пересечению) и Vi1UiUj1Vj (которые мы назовем производными соотношениями, соответствующими нижнему пересечению), причем і, / пробегают множество всех пар различных индексов элементарных частей узла К- Любое из дополнительных соотношений называется производным соотношением.
Если два соотношения из различных частей имеют общий порождающий, то этот порождающий либо X0, либо X1. Следующее наблю-
364
/"л. V. Теория малых сокращений
дение является решающим в нашем доказательстве. В любом про. изводном соотношении, соответствующем нижнему пересечению,; при рассмотрении двух последовательных вхождений порождаю--щих из одной и той же элементарной части показатель меняется с положительного на отрицательный. При рассмотрении последовательных вхождений порождающих из разных элементарных частей показатель меняется с отрицательного на положительный. Для производных соотношений, соответствующих верхнему пересечению, картина противоположная.
Напомним два следующих факта из доказательства теоремы 8.2. Для соотношений, возникающих из каждой элементарной части, выполняется C(A). Симметризованный набор соотношений, не являющихся производными, удовлетворяет условию T(A).
