Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Проекция узла II называется элементарной, если в дополнение к условию (1) она удовлетворяет такому условию:
(2) В пересечении любых двух областей содержится не более одного граничного ребра. .
Если К — простой узел, то каждая его проекция с минимальным числом пересечений является элементарной. Заметим, однако, что элементарность — свойство именно проекций. Обратимся теперь к основному результату Вайнбаума.
Теорема 8.2. Пусть Il — альтернированная элементарная проекция. Тогда представление группы H удовлетворяет условиям C(A) и T(A).
? Имеется в виду, конечно, что R — симметризованное подмножество, порожденное соотношениями ru..., гт,—удовлетворяет уело-
360 Г л. V. Теория малых сокращений
виям C(A) и 7(4). Если С(4) не выполняется, то имеется кусок XjX'k или Xj1Xn, получающийся из различных элементов г, s множества R. Соответствующие области X1, Хя пересекаются в точности по одному ребру е. Соотношения г и s должны, таким образом, возникать из вершин на концевых точках этого ребра. Однако в этом случае, согласно нашему способу построения определяющих соотношений, в этой проекции должно быть два последовательных пересечения сверху или два последовательных пересечения снизу. Это невозможно, так как П альтернированная.
Если не выполняется условие Г (4), то существуют области Xi, Xj, Хл, такие, что пары Xt, Xf, Xj, Xh; Xk, X1 имеют общие граничные ребра etj, ejh, ekl соответственно. Построим полный дуальный граф П* для графа П. Области X1, X1, Xh и ребра ei}, ejh, eki соответствуют границе треугольника в П*, образованного вершинами XI, X], Х\ и ребрами e*;-, e'k, е"и. Пусть Т* — подкарта в П*, состоящая из этого треугольника и всего, что лежит внутри него. Заметим, что каждая область карты Т* имеет степень четыре, так как каждая вершина карты имеет степень четыре. Пусть е* и /*—соответственно числа ребер и областей из Т*. Поскольку сумма степеней областей и числа граничных ребер равна удвоенному числу ребер, имеем 4/*+3=2е*. Из невозможности этого равенства и вытекает справедливость условия T (4). Для дальнейших ссылок отметим следующее: доказательство того, что R удовлетворяет условию T(A), не использует ни альтернированности проекции П, ни того, что она является элементарной. ?
Следующий наш шаг основан на работе Шуберта [19491, описав шего метод разложения узла на простые части. К счастью, на нужно работать только с проекциями. Проекция П будет называтьс стандартной, если для нее выполняется условие (1) и следующ" условие:
(3) Существует фиксированная область Xu такая, что ни одн пара различных областей не имеет в пересечении более одног ребра, за исключением пары X1 и X0 (неограниченная область)
В стандартной проекции свойство (2) элементарной проекци может нарушаться только областями X0 и X1.
Лемма 8.3. Каждый узел К обладает стандартной проекцией. Если К — альтернированный узел, то у К имеется альтернированная стандартная проекция.
? Пусть П — некоторая проекция для К. Фиксируем область Xu имеющую общее граничное ребро с областью X0. Назовем пару (Ха, Хь) областей, для которых а<Ь, плохой парой, если (X0, Хь) не является парой (X0, Xi) и в пересечении X0 и X0 лежит более одного ребра. Плохая вершина — это вершина, лежащая на границах обеих областей плохой пары. Если проекция П не стандартна, выбе-
8. Приложения к группе узлов
361
рем некоторую плохую пару (Ха, Хь). Поскольку в пересечении областей X0 и Хь имеется более чем одно ребро, существует простая замкнутая кривая Г, лежащая целиком внутри Ха и Хь и такая, что вершины проекции П лежат по обе стороны от Г. Далее Г можно выбрать так, что X, не лежит внутри кривой Г.
На интуитивном уровне суть рассуждения Шуберта состоит в следующем. Пусть S — сфера, включающая в себя часть узла, проекция которой ограничена кривой Г. Узел пронизывает сферу S дважды. Зафиксируем точку, в которой узел входит в S. Сожмем сферу и ее внутренность до достаточно малых размеров. Растягивая узел, продернем S вдоль узла, так, чтобы она оказалась на незанятой части ребра е, находящегося на общей границе областей X0 и Xi. (См. рис. 8.3.)
Имея в виду приведенное описание, определим операцию переноса на проекции П следующим образом. Пусть П' — часть проекции П, внутренняя по отношению к Г, аП" — часть проекции П, внешняя по отношению к Г. Построим П* по П следующей процедурой:
(І) Вычеркнем П' и заменим ее простой дугой, лежащей внутри Г и соединяющей концы части П".
(ii) Вычеркнем малую дугу б из ребра е. Заменим б кривой 2, геометрически подобной П', но столь малой, что 2 пересекает П только в точках присоединения. Проделаем эту замену таким образом, чтобы ориентация при движении по узлу сохранялась.
(Ш) Допустим, что проекция П альтернированная. Поскольку проекция входит в Г один раз и один раз выходит из Г, каждая вершина, внутренняя по отношению к Г, при движении по узлу проходится дважды, один раз по верхней и один раз по нижней дуге. Следовательно, если П альтернированная, то как IT, так и ГГ альтернированные. Когда 2 перемещается на ребро е, могут возникнуть два последовательных прохождения сверху (снизу), состоящие из последней вершины, пересекаемой в 2, и следующей пересекаемой вершины. Если это случится, перевернем 2. После этого прохождения сверху и снизу в 2 поменяются местами и проекция П* становится альтернированной.
