Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Предложение 3.7. Пусть F — свободная группа с базисом X и T — подмножество в F, такое, что каждый начальный отрезок (приведенного) слова из T снова лежит в Т. Предположим, что задано действие л группы F на Т, такое, что для всех t из T преобразование n(t) переводит 1 в t. Для любого w?F запишем w=l-n(w) и y(w) =ww "1. Тогда
(1) из tu t2(zT, X1, X2 f. X и у V1X1) =y Ц2х2)Ф\ следует, что U =
==/2 U X1^=X2',
(2) множество Y всех у (1х)Ф\, где / ? T и х Є X, является базисом некоторой свободной подгруппы.
? Пусть G — подгруппа, порожденная всеми y(w), w ? F. Покажем сначала, что T — (правая) трансверсаль для G. Для любого w ? F имеем w=y(w)w, y(w)?G, w?T, откуда F=GT. Если w?F, то w?T, и, следовательно, w=l-n(w) и w-n(w)~x=l. Так как элементы у (w) порождают G, то 1 • п (g)= 1 для всех g ? G, т. е. что g= 1. Предположим теперь, что Gt1=Gt2 для некоторых U, t2?T. Тогда Ut21^G, откуда 1 = 1-^(/1/^) = 1^(^)^(/2)-1 и Zi=I^(Z1)= = 1-я(/2)=/2. Таким образом, T — действительно трансверсаль.
Покажем далее, что множество Y порождает G. Для этого вычислим, что для любых w Є F и X ? X имеют место соотношения у (w) у (wx) = (ww~x) (wx (wx)~l) = wxwx~x = у (wx); здесь мы использовали, что поскольку T — трансверсаль и w характеризуется тем, что Gw = Gw, w?T, то Gwx = Gwx и wx = wx. Поскольку у (wx) ^Gp (Y), отсюда следует, что у (wx) ?Gp (Y), как только •y (w) ? Gp (Y), откуда по индукции все у (w) лежат в Gp (Y), а значит, G = Gp(V).
Для завершения доказательства мы должны показать, что если W= у (Z1X1)*- ... у (tnxn)e", где п> 1, /,- € Т, X1 ?Х, et = ± 1, все у (t/Xj) отличны от 1 и ни для какого і одновременно не выполняется /,- = /,-+!, X1 = X1 + 1, е— — еі+1, то тф\. По определению у(tx) = txt'~x, где t'=tx?T. Так как t'x~x = txx~x = = txx~l = t = t, то y{tx)~l = t'х~Ч~1 = y(t'x~x). Это позволяет
3. Подгруппы свободных групп
33
нам записать w = у (^yx) .. ¦ Y (t„yn), где у^Х^1. Рассмотрим возможные сокращения в произведении Т/7/+1 = (^с7,^'_1)х x(tі+хУі + Jl+i). Если ГгЧі + 1 = иф\, то слово Y/Y/+1 = ііУіиУі+А+і приведенное. Действительно, в противном случае, предполагая по симметрии, что слово ум не приведенное, мы получили бы, что t'iyj1 — начальный отрезок слова ti + l, откуда t'tyf1 ?Т и уг1= — Y (і'іУЇ1) — 1 > Yi = I- Таким образом, часть у{ может потеряться в произведении только в том случае, когда t'i=ti+l, откуда Y1-Y/+! = ііУіУі+Jul и, кроме того, у,. = ^j1. Отсюда следует, что пара у,-, Yi+i нарушает предположения относительно w (что доказывает утверждение (1)). Теперь мы видим, что в приведенной форме слова w все буквы yt сохраняются, следовательно, шф\. ?
Мы отложим на время те приложения, для которых Берне доказал это предложение, и выведем из него два результата, которые первоначально этим методом получил Шрайер. Первый из них — это теорема Нильсена — Шрайера.
Предложение 3.8. Каждая подгруппа свободной группы свободна.
? Предположим, что F — свободная группа с базисом X, и пусть H — некоторая подгруппа группы F. Назовем частичной шрайеров-ской трансверсалью для HbF множество Т, такое, что для различных t?T подмножества Ht различны и каждый начальный отрезок любого элемента из T принадлежит Т. Поскольку объединение возрастающей цепочки частичных шрайеровских трансверсалей — частичная шрайеровская трансверсаль, существует максимальная частичная шрайеровская трансверсаль Т. Если t? Т, х?Х±г и tx^HT, то мы можем присоединить tx к Т, что противоречит максимальности Т. Таким образом, T — шрайеровская трансверсаль.
Правым умножением F переставляет смежные классы Ht; это индуцирует действие л группы F на T по формуле HtW=H (t-n(w)). Таким образом, Г и я удовлетворяют предположениям предложения 3.7. Проверим, что группа G из заключения этого предложения совпадает с Н. Во-первых, из w 6 Hw следует, что у (W)=WW1 б Н, т. е. G^H. Во-вторых, из w ? H следует, что ыу = 1=1, откуда W= =y(w)?G и, значит, tfsG. ?
Предложение 3.9. Если F — свободная группа ранга, большего 1, и H — подгруппа конечного индекса \F : Н\, mo H — группа конечного ранга, причем
\p.u\ — rank(tf) —1 1 1 ~ rank (F)-I '
? Положим /=rank(F), «=гапк(Я) и j=\F : Н\ = \Т\. Число d пар t? Т, X ? X, таких, moy(tx) = l, является числом пар, для которых tx Є T и, следовательно, числом пар /ь t2^T, таких, что U равно приведенному слову t^y, где у ? Xі1., Далее, каждый элемент
2 № 653
34
Гл. I. Свободные группы и их подгруппы
ti^T определяет такую пару за исключением случая, когда /і=1, так что d=\T\ —1=/-1. Таким образом, h=\\T\-\X\)—d=jf— —(/—1) и h—1=/(/-1), что и требуется. ?
Замечание. Как мы увидим позже, предыдущее предложение и особенно его доказательство могут быть интерпретированы геометрически. Полученная формула тесно связана с формулой Римана — Гурвица (см. III.7).
Следующее предложение Бернса является усиленным вариантом теоремы М. Холла и является частичным обращением предыдущего предложения. См. также работу Треткоффа [1975].
Предложение 3.10. Пусть F — свободная группа, А —конечное подмножество из F и H — конечно порожденная подгруппа группы F, имеющая с А пустое пересечение. Тогда H является свободным множителем подгруппы G конечного индекса в F, пересечение которой с А также пусто.
