Комбинаторная теория групп - Линдон Р.
Скачать (прямая ссылка):
Осталось доказать (*). Оставим в стороне тривиальный случай, когда G=I. В нетривиальном случае, заменяя G на сопряженное множество, можно считать, что U содержит нетривиальный циклически приведенный элемент. Можем также предполагать, что V — это yV-приведенное множество порождающих группы Н. Итак, пусть W-1Gw=H при некотором w 6 F. Если w„=gwh для некоторого g? G и h Є Н, то группа W01Gw0 сопряжена в Я с группой W-1Gw. Таким образом, истинность утверждения (*) для W0 эквивалентна его истинности для w0. Выберем такой элемент W0 наименьшей длины; достаточно доказать, что InyJ^Cm. Для упрощения обозначений будем в дальнейшем вместо W0 писать w.
26
Гл. 1. Свободные группы и их подгруппы
Будем вести доказательство методом от противного, предполагая, что \w\>m, т. е. что |ш|>|и|, |и| для всех uQ_ U и v? V. Фиксируем в U некоторый элемент и, нетривиальный и циклически приведенный. Тогда одно из слов w~lu и uw приведено; можно, например, считать, что uw приведено. Минимальность элемента w, точнее его длины, среди всех элементов двойного смежного класса GwH дает \w1u\^\w1\, откуда следует, что в произведении W1U сокращается не более половины элемента и, причем, конечно, то же верно и для произведения W1UW. Так как |ш|>|«|, отсюда получаем, что в произведении W1UW сохраняется более половины сомножителя W1 и весь сомножитель W.
Поскольку W1UW 6 Я, то w~1uw=v1.. .Un для некоторых Oj 6 Vі1, я^1, причем ни для какого і не выполняется UjO1+1 = 1. Сохраняя наши предыдущие предположения, выберем w так, чтобы число п было минимальным. Покажем, что Vn=J=V11. В самом деле, предположим, что Vn=Vi1. Из Л^-приведенности множества V и отсутствия
равеНСТВ ViV1 + 1 = I Следует, ЧТО Произведение W1UW=V1. . .Un-1Uf1
оканчивается по меньшей мере половиной слова Uf1. Так как оно также оканчивается на все слово до и поскольку M^Iu1I, отсюда следует, что в произведении W0=WV1 сокращается не менее половины слова иь откуда |ш0|^|до|, и фактически в силу минимальности слова w имеем |ш0|=(до|. Однако Wa1UW0=V2-. .и„_і в противоречие с минимальностью числа п. Таким образом, мы показали, что и„=?
Далее, слово W1UW=V1.. .Vn начинается не менее чем с половины слова и1( а также и слова до-1. Поскольку |до|>|уіі, отсюда следует, что w1 начинается не менее чем с половины слова U1. Однако из минимальности слова w вытекает, что IwV1I^w], так что W1 начинается не более чем с половины слова и*. Короче, W1Uw начинается в точности с половины слова V1. Аналогично оно оканчивается в точности половиной слова Vn. Предположим, что Iu1I^IunI. Так как W'1 начинается .с половины слова иь а до оканчивается половиной слова ип, в произведении UnU1 сокращается половина слова U1, и все это слово сокращается в произведении UnU1U2. В силу ТОГО ЧТО UnU1=^l и UiUa=J^=I1 это противоречит Л^-приведенности множества V. Аналогично, если IunI=^Iu1I, то мы приходим к противоречию, состоящему
В ТОМ, ЧТО Vn ПОЛНОСТЬЮ СОКраЩаеТСЯ B ПрОИЗВеДеНИИ Un-1UnO1. ?
Следующие два предложения легко доказываются только что приведенными рассуждениями.
Предложение 2.23. Для любых конечных подмножеств U1, ... ..., Un и V1, ..., Vn свободной группы F алгоритмически разрешима проблема существования w?F, такого, что w 1Gp (Ui)W=Qp (Vi) или W1Gp(Ui)W=Qp(Vi) для всех І. ?
2. Метод Нильсена 27
Предложение 2.24. Для любых элементов Uu ..., Un и V1, ...
... ,и„ свободной группы F алгоритмически разрешима проблема существования элемента w?F, такого, что W-1U1W=Vt для всех i. О
Проблема вхождения в случае свободного произведения изучалась Михайловой [1958, 1959, 1966, 19681, в случае нильпотентного произведения Щепиным [1965]; см. также работы Щепина [1968] и Классена [1970].
Следующие два предложения принадлежат Федереру и Йонссону [1950].
Предложение 2.25. Допустим, что F — свободная группа с конечным базисом X, и пусть А — часть некоторого базиса для F. Тогда F обладает базисом A U В, таким, что самый длинный элемент множества В не длиннее самого длинного элемента множества А.
? Нам дано, что при некотором В множество A U В — базис группы F. Пусть т — максимум длин элементов а ? А. Так как замена множества А стандартным методом yV-приведенным множеством А' заменяет т на т! т, мы можем считать, что А является yV-при-веденным. Можно считать, что и В тоже JV-приведено. Если некоторый элемент b ? В имеет длину IbKm1 мы можем удалить его из В и присоединить к А; таким образом, можно предполагать, что \Ь\>т для всех b 6 В. Остается показать, что допущение ВФ0 ведет к противоречию. Будем считать, что величина M=2\b\, b?B, является минимальной. Далее, поскольку AnB Af-приведены по отдельности, то \ху\ ^UI, \у\, если хуф\ и элементы хну либо оба лежат в А±1у либо оба лежат в ?*1. Если х?А±г и y^?*1, т. е. UKm<lyl, и при этом (Nl) нарушается, то UyKIyI, и, заменяя у на ху, мы можем уменьшить М. Таким образом, (Nl) имеет место. Мы можем предполагать также, что если x=ab-1 ?А±1 и а<Ь (как в доказательстве предложения 2.2), то ни один из элементов множеств A±l или В±1 не начинается с Ь. Тогда, как и прежде, \xyz\>\x\—IyI +IzI для всех у? A±l. Можно считать также, что это неравенство выполняется и для любых элементов х, у, Z^B*1. Остается рассмотреть случай, когда y€?±x и хотя бы один из элементов х, г, например х, лежит в A±l. Тогда, поскольку UKIyI и не более половины X сокращается в ху, менее половины элемента у сокращается в ху; точно так же, не более половины от у сокращается в уг, т. е. некоторая часть от у сохраняется в хуг, что влечет за собой выполнение условия (N2). Итак, мы показали, что множество A U В Л/-приведено. Поскольку А[}В порождает группу F, из предложения 2.13 вытекает, что все элементы этого множества имеют длину 1. Это противоречит наличию в В элемента Ь, для которого \Ъ\>т^\. U
