Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
15. Пусть К— произвольное тело; отождествим Р1(К) с /CU {°°}> •следуя соглашениям, принятым в § 6.
a) Покажите, что томографии P1 (К) записываются в виде х\—> (хс + d)~l (ха + Ь), а те из них, которые сохраняют бесконечно удаленную точку, в виде х і—> X (ха + H где (X, a, b) е є К* X К* X к.
b) Покажите, что элации, сохраняющие бесконечно удаленную точку, представляются в форме х \—>х + Ь (см. упр. 7). Выведите из этого, что элации, допускающие в качестве неподвижной точку а е/С, задаются соотношениями вида (q>(x) —а)-1 = = (х — а)-1 + b (b = const). (Воспользуйтесь томографией X і—> (х — а)-1.)
c) Покажите, что гомологии, сохраняющие бесконечно уда-денную точку, имеют вид X і—> хХ 4- b или х і—> Xx + Ь, смотря по тому, является ли точка оо их центром или нет. Получите из этого, что гомологии с центром аЕК, имеющие вторую неподвижную точку ? е /С, могут быть заданы соотношением вида
(Ф (X) - ?)"1 (Ф (X) - а) = Х(х- ?P1 (X -a) (X є K)9 (D
и проверьте, что в случае поля К соотношение (1) равносильно t?, ос, Xy ф(#)] = X. (Воспользуйтесь томографией х\—>(х — -$)~1(х-а).)
d) В случае поля К покажите, что гомологии и элации являются единственными гомографиями P1 (/С), допускающими хотя бы одну неподвижную точку.
16. Пусть E — конечномерное векторное пространство над полем К1)- Напомним, что линейная группа порождается автоморфизмом Е, множество неподвижных точек которого есть гиперплоскость (см. упр. II. 14 и [LFA], т. 3, упр. I. 14).
а) Выведите из этого, что PGL (E) порождается гомоло-гиями и элациями (см. упр. 13).
1) По поводу некоммутативного случая см. [AR], гл. IV*
288
УПРАЖНЕНИЯ
b) Пусть — проективная гиперплоскость в P (E). Покажите, что любая томография S получается как композиция конечного числа перспектив.
c) Пусть /C«R; покажите, что любая томография P(E} индуцируется автоморфизмом E с детерминантом ±1. Допустим, что такой автоморфизм разлагается в произведение симметрии относительно гиперплоскостей; покажите, что PGL(E} порождается гармоническими гомологиями.
Гармонические четверки и двойное отношение
17. В случае произвольного тела К покажите, что четверка (О, ?, у» б) гармоническая тогда и только тогда, когда Y +¦ + o"-"1«2?"1.
18. Покажите, что для поля характеристики Ф2 четверка (а, —а, Y» б) гармоническая тогда и только тогда, когда YO « ссК
19. Пусть К— произвольное тело характеристики »9=2 и ф — биекция P1 (К) на P1 (/С), такая, что образ любой гармонической четверки есть гармоническая четверка. Докажите, что ото-
ажение ф полупроективно (теорема фон Штаудта). План казательства:
a) Покажите, что можно свести дело к случаю ф(0) » 0„ ф(1^ «=¦ I1 ф(оо) » оо; тогда, отождествив P1 (К) с /CU {°°}, получим
Ф (1^) - T (ф W + ф Ш ф {2х) = 2ф {Х)
и ф (x*) -[Ф (х)]2.
(Пользуемся тем, что (х, yt (х + у) 12, во), (0, 2х, x1 оо) и? (1,jc2, x1—х)—гармонические четіерки.) Выведите из этого, что Ф — автоморфизм тела К.
b) Возвратившись к общему случаю, выведите сформулированное утверждение.
20. Пусть а, Ь, с, d — четыре элемента поля К и k = [а, 6, C1 d] — их двойное отношение. Покажите, что если / пробегает множество (содержащее 24 элемента) всех перестановок a, b, C1 dy то двойное отношение [!(1O)1 f(b), f(c)t f(d)] принимает лишь значения k% k~\ 1-А, 1 - k~\ (1 - кГ\ (1 - /Г1)"1.
a) При каком выборе a, bt с, d не все эти шесть значений различны?
b) Выясните, каково число значений, принимаемых этим двойным отношением, в следующих случаях:
i) k = —1 (рассмотрите случаи, когда характеристика К равна 2 и 3);
ii) k2 — k+ 1 = 0;
iii) к есть поле FA из упр. I. 16.
21. Пусть P (E), P (F) — два проективных пространства над полями Ky К' и ф: P (E) -> P (F) — полупроективный морфизм, ассо-
УПРАЖНЕНИЯ
289
циированный с изоморфизмом 0: К-к К'. Покажите, что если A1 B1 C1 D — коллинеарные точки P (E) и [A1 B1 C1 D] «к, то {Cp(A)1 Cp(B)1 Cp(C)1 CP(D)] = 9 (к).
22. (Обобщение понятия двойного отношения.) Пусть Л — проективная прямая над некоммутативным телом К и A1 B1 C1 D-* четыре ее точки. Обозначим через [A1 B1C1 D] множество значений Cp(D)1 где ф — томография А на P1 (/С), такая, что ср(А) =*
оо, ср(В) = 0, ф(С) = 1.
a) Покажите, что [A1B1 C1 D] инвариантно при любой томографии.
b) Покажите, что если к є [A1 B1 C1 D]1 то
[A1 B1 C1 D] *= {XkX"1 Us К*}.
c) Что будет в случае гармонической четверки (A1B1 C1 D)?
23. Пусть & — аффинная плоскость над полем K1 отнесенная к декартову реперу с началом в О. Каждому элементу meP1 (К) поставим в соответствие прямую (прямая с наклоном т) с уравнением у = тх, если т е K1 и дг == 0, если т = = оо. Покажите, что двойное отношение четырех прямых, проходящих через O1 равно двойному отношению их наклонов.
24. (Пучок гиперплоскостей.) Пусть ф, г|э — две независимые линейные формы на векторном /(-пространстве E и L1 M — гиперплоскости в P (E) с однородными уравнениями ф = 0, г|э = О соответственно.
a) Покажите, что гиперплоскости в P (E)1 содержащие L Л M1 суть те, которые могут быть заданы однородным уравнением вида Хер + И-Ф =81 0, где (X1 \і) є /(2\{0, 0} (говорят, что эти гиперплоскости образуют пучок с базисом (L1M)).
