Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
8. Пусть <§ — аффинное пространство и f: & & — такое инъективное отображение, что для любой пары (А, В) различных точек прямая (f(A)f(B)) параллельна прямой (AB). Покажите, что
a) если Л, В — такие две точки &\ что прямые (Af(A)) и (Bf(B)) пересекаются в точке /, то / есть неподвижная точка отображения f;
b) если / — неподвижная точка f, то прямые, проходящие через /, сохраняются при отображении f н f есть гомотетия с центром /;
c) если / не допускает неподвижных точек, то / — трансляция.
9. Пусть E — векторное пространство и Я — его аффинная гиперплоскость, не проходящая через начало. Покажите, что на E существует единственная линейная форма H1 такая, что H =
10. а) Пусть hд, hB — две гомотетии аффинного пространства отличные от Idg, с различными центрами А, В. Покажите, что
УПРАЖНЕНИЯ
28t
hB ° hA является гомотетией, центр которой лежит на прямой (AB), или трансляцией на вектор и, параллельный этой прямой* Покажите также, что На и Hb не коммутируют.
Ь) Покажите, что гомотетия H ф Id^ не может коммутировать с трансляцией t^Idg.
11. Пусть три гомотетии р, q, г с различными центрами Р, Q, R аффинного пространства & удовлетворяют условию pqr = rpq или pqr = rqp, причем композиция pq не является трансляцией.
Покажите, что Р, Q, R лежат на одной прямой (первый случай прос-г; для исследования второго следует различать две возможности: первая, когда pqr — гомотетия, центр которой можно определить по центрам А, В гомотетий (pq), (qp), и вторая, когда pqr — трансляция).
Приложение. Пусть основное тело К коммутативно, <Ю, 2D' — пара параллельных прямых, Л, В, С — три точки на 3) и Л', В', С — три точки на 2Ь'. Докажите, что точки P = (ВС) f) П (CB'), Q = (CA') П (AC) и R = (AB') f| (BA'), если они существуют, принадлежат одной прямой (примените гомотетию р с центром Р, переводящую В в С, и аналогичные гомотетии q, г с центрами Q, R и докажите, что pq~lr = rq~lp; это есть-специальный случай теоремы Паппа, см. § IV. 11).
12. В аффинном пространстве ассоциированном с векторным пространством Е, дано конечное семейство (Л^, ^)*«==/ взвешенных точек, для которых ^tj X1 = 0.
a) Покажите, что функция Лейбница /: <§Р -> Е, M і—> і—> ^ XiMAi постоянна.
b) Постройте систему из трех точек А, В, С, снабженных
ненулевыми массами X, \х, v, такую, чтобы функция M \—> XMA+
-f цМВ + vMC была всюду равна нулю (точки А, В, С должны быть коллинеарны).
c) Докажите предложение: для того чтобы п + 1 точек Aq, ..., An в & принадлежали одному ЛАМ размерности? ^.п—1, необходимо и достаточно, чтобы существовали не равные нулю одновременно скаляры X0, ..., Xn, такие, что функция
п _>
M і—> XiMAi равна нулю тождественно (можно использо-вать векторную структуру с началом Ao).
13. Пусть <§г — евклидово аффинное пространство. Каждому конечному семейству (Л^, X1)^i взвешенных точек сопоставим вторую функцию Лейбница <р: & -> R, M \—> X1MAJ.
П Ж. Лелон-Ферран
282
УПРАЖНЕНИЯ
а) Покажите, что если У Xi ф О и G — барицентр семейства,
В каком случае она равна нулю? (Воспользуйтесь предыдущим упражнением.)
Приложение. 1) При данных точках A1 В выясните, каково множество точек M1 для которых MB = kMA (k = const).
2) Для заданной тройки коллинеарных точек A1 В, С выведите соотношение Стюарта
(VM є= <г) MA2BC + MB2CA + MC2AB = 0.
14. (Теорема Дезарга1).) Пусть & — аффинное пространство над каким-либо телом К и (ABC), (А'В'С')—две тройки не кол-линеарных точек, такие, что прямые (AA'), (BB'), (CC) различны и пересекаются в точке S. Предполагается, что А' Ф A1 В' фВ,С ф с.
а) Покажите, что существуют скаляры X1 \i, v, такие, что
и проверьте, что если \і ф v, то 9$ ((B1 \х), (С, —v)) есть точка P пересечения прямых (ВС) и (В'С).
b) Определите таким же путем точки Q = (CA) f| (CA') и R == (AB) П (A'В'), если они существуют; проверьте, что
(V — \i) SP + (X — v) SQ + (\i — X) SR = 0. Выведите отсюда, что точки Р, Q1 R принадлежат одной прямой.
c) В случае когда прямые (ВС) и (В'С) параллельны, но точки QkR существуют, покажите, что прямая (QR) параллельна (ВС).
15. (Теорема Менелая о полном четырехстороннике.) Пусть (ABC) — треугольник в аффинной плоскости & и P1 Q1 R —
точки, заданные условиями BP = XCP1 CQ = \iAQ, AR — vBR, тде X1 \х, v—ненулевые скаляры. Обозначим через р, q, г гомотетии с центрами соответственно в P1 Q1 R и коэффициентами X1 \х, v.
a) Покажите, что р°qor = Idg тогда и только тогда, когда X\iv = 1, и выведите из этого, что приведенное условие равносильно коллинеарности точек P1 Q1 R.
b) Предположив коллинеарность точек P1 Q1 R1 покажите,
1) Это доказательство — аффинный вариант данного в § IV. 10. Заметим, что здесь нет предположения о двумерно-сти <§.
tc
(VM єе ф (Af) =* ( ? Xt) MG2 + ф (G).
л' = я ((S1 1), (A1 X)I В' = ® ((S1 X)1 (B1 ц))> С = Л ((S1 1), (C1 V)),
УПРАЖНЕНИЯ
28$
что середины а, ?, у отрезков [АР], [BQ] и [CR] также коллинеарны. (Если h\iv = 1, то можно положить К = v~lw, \х =«= = w~lu, v = u-lv и доказать, что для любой точки Og^
