Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
= Л, такой, что ортогональная проекция Hn точки An на прямую {AB) удовлетворяет условию
(V/isN) АНп = п AH11
где AHi Ф 0 (поскольку S не проходит через D). Тогда при достаточно больших п будем иметь AHn > > АВ\ в этом случае Л и Hn не лежат по одну сторону от прямой (ВС). Далее, прямые (ВС) и (HnAn) не пересекаются (они обе перпендикулярны к (AB)). Таким образом, An и Hn лежат по одну сторону от (ВС)у причем противоположную той, где находится
A BA'
H1 H2
"з Б
Рис. 21
Л. Значит, отрезок [AAn] пересечет {BC) вопреки предположению. ?
> Заметим, что это доказательство основано на том факте, что прямые—архимедовы.
П. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
Теперь мы в состоянии установить равносильность утверждений Ei, E2, E3, E4, Е5, E6, сформулированных в конце § 9. Она будет следовать из предложения 10.5 и предложений, приведенных ниже.
Предложение 11.1. Предположим, что существуют прямая S) и точка Л, такие, что через Л проходит единственная прямая S\ не пересекающая S. Тогда для каждого действительного d > 0 существует прямоугольник, одна из сторон которого равна d, и через любую точку M плоскости ^ проходит не более однсйі
Al___
A2
С
262
гл. vi. метрическая геометрия
прямой, не пересекающей произвольной заданной прямой А.
Доказательство, а) Пусть В— основание перпен-дикуляра, опущенного из А на D9 и С — такая точка на 3), что ВС = d (см. рис. 22). Так как ЗЬ'— един* ственная прямая, проходящая через Л и не пересекающаяся с 3), то она совпадает с прямой, симметричной 3) относительно середины отрезка [AB], и, следовательно, перпендикулярна к (AB). Пусть, далее, 3)" — перпендикуляр к 3), проведенный через С*
Ю' А В
-р-q-
¦_О_п
Рис. 22 3) В dC
поскольку прямая, перпендикулярная к 3)" и проведенная через Л, не пересекает прямой 3), то она совпадает с З)1 и пересекает ЗУ' в некоторой точке D. Таким образом, (ABCD)—прямоугольник, сторона [ВС] которого имеет длину d.
b) Пусть А — прямая в плоскости M — точка из 9>\\ и Р — основание перпендикуляра к А, проходящего через M (см. рис. 23). Положим MP = d, и пусть (ABCD)—такой прямоугольник, что ВС = d. Существует изометрия f плоскости 3>у которая переводит В в M и С в Р. Пусть A' = f(A), D' = f(D); тогда (MPD'А') — прямоугольник и О'єД, Предложение 10.5 показывает, что (MA')—единственная прямая, проходящая через M и не пересекающая А. ?
Предложения 10.5 и 11.1 делают очевидной эквивалентность аксиом (Ei) — (E3) из конца § 9. Далее, хорошо известно, что (Ei) влечет (E4) (см. упр. VI. 8) и (E6), и поскольку из (E4) следует (E5), нам остается доказать, что из (E5) вытекает (E3), a (E6) влечет (E5).
Предложение 11.2. Пусть (ABC) — треугольник, сумма углов которого равна развернутому углу; тогда
11. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ АКСИОМЫ ЕВКЛИДА
существует прямоугольник, диагональ которого является одной из сторон этого треугольника.
Доказательство. Можно считать, что углы В и С острые. Тогда основание H высоты, проведенной из A1 лежит между В и С; сумма всех непрямых углов прямоугольных треугольников (AHB) и (AHC) равна со. Из предложения 10.3 вытекает, что сумма непрямых углов каждого из этих треугольников равна прямому углу. Если К — точка, симметричная H относительно середины / отрезка [AB] (см. рис. 24), то легко обнаружить, что (AHBK) — прямоугольник. ?
d
Л ?
Рис. 23
Замечание. Отождествив каждый угол с его ра-дианной мерой, легко убедимся, что существование треугольника с суммой углов, равной я, равносильно существованию выпуклого четырехугольника с суммой углов, равной 2я*). Чтобы доказать, что из аксиомы (E6) следует аксиома (E5), достаточно, таким образом, установить
Предложение 11.3. Если существует два неизо-метричних треугольника (ABC)1 (A'В С) с равными углами: л'=== л, В' = B1 C = C1 то существует выпуклый четырехугольник, сумма углов которого равна 2я.
Доказательство. Ввиду неизометричности треугольников можно для определенности положить А'В' >
1) Можно также, не используя меры углов, придать соот* ветствующий смысл утверждению: «сумма углов четырехуголь*д пика равна 2(0».
264
ГЛ. VI. МЕТРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
>• AB. Пусть f та изометрия, которая переводит? полупрямую (А'В'( в полупрямую (AB(, а полупрямую (Л'С'(—в полупрямую (AC(. Обозначим Bi =
= f(B')y C1 = I(C) (см. рис. 25). Тогда ABO =
= AB1C1 и ACB = ACxBx, откуда следует, что сумма углов выпуклого четырехугольника (BBxCxC) равна 2л.
Указанная выше эквивалентность аксиом пол-^ ностью доказана. ?
Эта эквивалентность не решает, однако, вопроса о независимости пятого постулата Евклида от остальных аксиом. Эта независимость следует из того фак-
та, что можно определить на R2 или на некоторых частях R2 структуру «метрической плоскости», для которой аксиома Евклида не выполняется; такая плоскость называется гиперболической и представляет собой «модель» неевклидовой геометрии. Мы приведем такой пример в § 12.
Более того, свойства метрической плоскости, полученные Бойаи и Лобачевским при отрицании постулата Евклида, позволяют построить биекцию, изомет* рическую с точностью до постоянного множителя, этой «метрической неевклидовой плоскости» на гиперболическую плоскость. Но связанные с этим вычисления далеко не элементарны и слишком длинны, чтобы их здесь привести; их можно найти в гл. VI в [BK—SZ],
