Основания геометрии - Лелон-Ферран Ж.
ISBN 5-03-001008-4
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство, а) С помощью последовательных осевых симметрии мы можем построить последовательность четырехугольников Саккери (AnBnBn+1An+1), такую, что A0 = A, B0 = B, A1 = D, B1 = C и для всякого /igN* отрезок [An+1Bn+1] симметричен [Ап_хВп_х] относительно прямой (AnBn) (см. рис. 15). Тогда точки B0, B1, Bn коллинеарны и для любого пс= N выполнено равенство BnBn+1 = ВС.
Точки (An) необязательно коллинеарны, гно для всех neN имеем AnAn+1 = AD и AnBn = AB.
А 8'
J
D
у :
: і
, J'
Повторно применяя неравенство треугольника, мы увидим, что длина отрезка [BBn] не превосходит длины ломаной (BAAi ... AnBn), откуда
(V/i є N) пВС < riAD + 2AB,
и переходя к пределу после деления на п, получаем BC^AD.
Ъ) Отрезки [CD] и [BA] очевидным образом симметричны относительно медиатрисы отрезка [ВС] (рис. 16). Последняя соединяет, таким образом, середины IuJ отрезков [ВС] и [AD], и медиатриса А отрезка [//] не пересекает ни одной из прямых (AD) и (ВС) (поскольку прямые (AD), (ВС) и А перпендикулярны к прямой (//)). Тогда, поскольку / и / не лежат по одну сторону от А, так же обстоит дело и
гл. vi. метрическая геометрия
с точками А и В; отрезок [AB] пересекает А в некоторой точке /С. Но ВС ^ ADy поэтому точка В', симметричная В относительно А, принадлежит отрезку [AJ]. ^
Если В'-= А (случай, когда BC = AD)1 то BAD =
*= АВС = д. Если В' Ф A1 то в треугольнике (KAB') угол в вершине В' прямой и по предложению 8.2
другие его углы острые, откуда BAD = KAB' < б. ?
Сформулированное утверждение доказано, и вид-до, что равенство AB = CD имеет место только в
случае BAD = CDA = б, когда {ABCD) — прямоугольник. В этом случае имеем
Предложение 10.2. Пусть (ABCD) — четырехугольник Саккери, являющийся прямоугольником (т. е.
атакой, Что BAD = CDA = O). Если A'E=[BA] и Z/є= G [CD] такие точки, что BA' = CD', то прямая (A'D') перпендикулярна прямым (AB) и (CD).
Доказательство. Равенства BA = CD и BA' = CD' влекут А'А = 0'D1 и видно, что (A'BCD')j и [A'ADD')—четырехугольники Саккери (рис. 17).
Поэтому BA'D'^o и AA'D'^.6, что вместе с равенством В A'D' + AA'D' = со приводит к равенствам
BAD' = AAHD'= Ь. Итак, прямая (A'D') перпендикулярна к (AB). Аналогично можно убедиться, что она перпендикулярна и к {CD). ?
Применение к изучению суммы углов треугольника
Для начала установим
'Предложение 10.3. Сумма непрямых углов прямоугольного треугольника не превосходит прямого угла.
Доказательство. В силу следствия из предложения 8.2 треугольник имеет не более одного прямого ^гла. Пусть (ABC)—прямоугольный треугольник с прямым углом в В и В' — точка, симметричная В относительно середины / отрезка [АС] (рис. 18). На
30. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК САККЕРИ. ПРИЛОЖЕНИЯ 259
перпендикуляре к прямой (BC)9 проведенном в точке C9 найдется такая точка Д что CD = AB9 причем D расположена по ту же сторону, что и A9 от прямой (ВС). Тогда (ABCD) есть четырехугольник Саккери,
и в силу симметрии ВАС = В'С А.
© Если B' = D9 то BCA + ВАС = BCA + DCA =
= BCD = b.
@ Если Bf Ф D9 то по симметрии AB' = BC9 откуда* применив теорему 10.1, получим AB' ^AD. Следовательно (см. упр. VI. I)1 А лежит с той же стороны,
А'
Рис. 17
Рис. 18
что и В'9 относительно медиатрисы А отрезка [BfD]f проходящего через С (поскольку CB' = AB = CD).
Таким образом, ACB' < ACD9 откуда
BCA + ВАС = BCA + &CA = BCB' < BCD = б.
Во всех случаях BCA + BAC^o. ?
^ Теорема 10.4 (называемая теоремой Лежандра — Саккери). Сумма углов треугольника не превосходит развернутого угла.
Доказательство. Согласно следствию из предло* жения 8.2, треугольник имеет не более одного прямого или тупого угла. Поэтому мы можем считать,
что углы АБС и ACB треугольника (ABC) острые. Тогда основание H перпендикуляра, проведенного к прямой {BC) через A9 принадлежит отрезку [ВС]
(см. рис. 19) и ABC + BCA + CAB = ABH + BAH +
+ НАС + ACH <б + б = ©. ?
(260
гл. vi. метрическая геометрия
Одно свойство прямоугольников
Предложение 10.5. Если (ABCD)—прямоугольник (т. е. четырехугольник с четырьмя прямыми углами), то прямая (AD) является единственной прямой, проходящей через Л и не пересекающей прямой (ВС).
Доказательство. Допустим, что существует прямая 3), проходящая через Л, отличная от прямой (AD) и не пересекающая прямой (ВС), и пусть С, D' симметричны С, D относительно прямой (AB) (рис. 20).
л'
А'
"і
> Ґ
Ґ
Hi
в'
Рис. 19
Рис. 20
Если бы 3) не пересекала ни один из отрезков (CD)\ [CD'], то точка С (соотв. С) лежала бы по одну Сторону с D (соотв. D') относительно 3), и поскольку SD пересекает отрезок [DD'], то вопреки предположению 3) пересекала бы также и отрезок [CC'].
Предположим для определенности, что Sb пересекает [CD] в точке Ль и обозначим через А', В' точки, симметричные Л, В относительно прямой {CD) (см. рис. 20).
Теперь (АВВ'А') есть четырехугольник Саккери, одновременно являющийся и прямоугольником. Если Hx, Н[ обозначают ортогональные проекции A1 на прямые (AB), (A'В'), то из соображений симметрии ВН\ = B'H'V и предложение 10.2 показывает, что прямая НХН[ перпендикулярна (AB) и (А'В') и, значит, проходит через точку A1. Тогда (ADA1Hi)—прямоугольник, и мы можем с помощью повторных симметрии замостить плоскость прямоугольниками, конгруэнтными (ADAiHi) (рис. 21). Отсюда вытекает существование последовательности {An) точек SD с A0 =
