Математика для экономистов - Красс М.С.
ISBN 5-94723-672-9
Скачать (прямая ссылка):
lim2 + lim(2/п)+ Ііт(4/>Г ) 2 + О + О 1 ~ lim4+ Um(Vn)-IiTn(^n1) ~~4 +0-0 ~ 2'
п t и у Ii Vn COS Я
Пример 4. Найти предел последовательности [х,\ =------при
п->оо. "+1
Решение. Здесь, как и в предыдущем примере, числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, и потому сначала выполним необходимые преобразования. Поделив числитель и знаменатель на п, получаем:
(1/л/л")ссюп 1Im(V1V^)COSB
Hm(JT } = Hm-
1 + V« !iml + Hm(V«)
72 Глава 3. Множества веществениых чисел
Поскольку в числителе стоит произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности, то в силу свойства H окончательно получаем:
Пример 5. Найти предел последовательности [х„) = Jn + 1 -4п при
П —* -Г;.
Решение. Здесь применить непосредственно теорему о пределе суммы (разности) последовательностей нельзя, так как конечных пределов слагаемых в формуле для (хЛ не существует. Умножим и разделим формулу для {.v,J на сопряженное выражение Jn + 1 + Jn :
,. , , ,. (-Jn + I ~Jn) (Jn+ 1 + V«) п. n+1-n Um(xn} = hm- —-—---- =1пп
¦Jn + \ + Jn Jn+I + ¦Jn
< Lm(VVn) 0
= lim =J-- =--, "-" —------ = =0.
у л + 1 +¦ Jn Um(Jl+ Vn)+ Um(VV«) 1 + 0
л--* w t—T
3.2.4. Число е
Рассмотрим последовательность {.v,,}, обліпи член которой выражается формулой
¦И)
D курсе математического анализа доказывается, что эта последовательность мпнптопш возрастает, ограничена (.г„ < 3) и имеет предел. Этот предел называют числом е. Следовательно, но определению,
Г"
it=IiHi 1 + - . (3.1D)
Число е играет большую роль в математике. Далее будет рассмотрен способ его вычисления с любой требуемой точностью, Отметим здесь, что число е является иррациональным; его приближенное значение: rt = 2.7182818...
Рассмотрим два приложения р экономике использования числа е, Пример 6. Известно, что фі
Упражнения 73
(3.11)
гле Qo — первоначальная сумма и клада в банк, р — процент начисления за определенный период времени (месяц, год), п — количество периодов времени хранения вклада, Q — сумма вклада по истечении п периодов времени. Формулы типа (3.11) используются также в демографических расчетах (прирост народонаселения) и в прогнозах экономики (увеличение валового национального продукта). В общем случае, если р — процент начисления и год разбит на т? частей, то через г лет сумма депозита достигнет значения
где г = р/100. Это выражение можно преобразовать:
Введем НОВуЮ Переменную 777 = — : При П —К» ПОДУЧИМ 777 —> 00. или
MmQn = lim U0
иг
(3.12)
Расчеты, выполненные но формуле (3,12), называют вычислениями по непрерывным процентам.
Пример 7. Пусть темп инфляции составляет 1 % в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода?
Решение. Применение формулы (3.12) при 7 = -0,01 и t= 182 дает
где Qj) — первоначальная сумма, 182— число дней в полугодии. Таким образом, инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.
Упражнения
Определить множества значений х, удовлетворяющих следующим условиям:
3.1. |.г|<3. 3.2. Xі < 16.3.3. х*>25. 3.4. j.v- 3|< L. 3•S. (х* + 1)<26.
6-ш2
74 Глава 3. Множества вещественных чисел
3.6. (х7 - 3) > 1. 3.7. j - х2 > 0. 3.8. X2 - 2х + 7 > 0. 3.9. х2 - 2r + 5 < 0.
3.10. т +9х+8 sa 3.11. л3 - Sr - 100 >0.
j: - 5х + 6
Найти пределы последовательностей.
3.12. lim-^i . 3.13. lim"'*5" + 1.3.14. Ііш"3+Ши-5-. "^" Зп -1 Зп + 1 2п2 + Зп
3.15. Ип,2"'+"-3. 3.16. Um 4^-3" + 1. 3.17. пт^-2^. "^* я -я "-*1° 2тз -Зп "—*' Зя + 4н
/Зп + 2 -л/я
3.18. Hm(Vm- 3—Уи) .3.19. Mm
3.20. Прирост населения страны составляет р процентов в год. За сколько лет население страны удвоится? Дать ответ при р = 3% и р = 5 %.
3.21. Коммерческий банк аккумулирует средства предприятий в среднем на 6 месяцев. За это время он успевает три раза «прокрутить» эти деньги в виде краткосрочных кредитов, выдаваемых частным предпринимателям на три месяца под 4 % в месяц. Сколько процентов прибыли получает банк на этой операции?
3.22. По условиям предыдущей задачи рассчитать, что выгоднее банку: кредитовать из собственных средств предприятия на условиях ставки 20% годовых пли заниматься указанной деятельностью?
Глава 4
Функции одной переменной
4.1. Функциональная зависимость 4.1.1. Основные понятия
Определение 1. Пусть X п У-некоторые числовые множества и пусть каждому элементу хєХ по какому-либо закону / поставлен в соответствие только один элемент у є У. Тогда определена функциональная зависимость у от х по закону у = f (х). При этом .г называют независимой переменной (или аргументом), у — зависимой переменной, множество А' — областью определения (существования) функции, множество Y- областью значений (изменения) функции.
Если множество У значений функции ограничено, то функция называется ограниченной, в противном случае — неограниченной.
Задать функцию — значит, указать закон/определения зависимой переменной для каждого значения аргумента из области определения функции. Существует три основных способа задания функций.
