Сфероидальные и кулоновские сфероидальные функции - Комаров И.В.
Скачать (прямая ссылка):
Km(rr') = 0. (2.47)
Штрих обозначает дифференцирование по аргументу.
Подействуем последовательно операторами LT и К на функцию Т(г) из области определения оператора Lr, проинтегрируем по частям и воспользуемся равенством (2.47)
(KL,T)(r) =
" ! *- Ю [lF С ~ «') IF + * + ^)] X
х T(r') dr' = {/Cm (rr') (г'2 - а2) 7" (г') - Г/Cm (rr') X
x(r'2-a2)r(r')}|;:;s+
+ j Г (О С - *) ^ + * (''2 + ^)] x
X
К (rr') df = \r (r') \~r2J-K (rr') - a2r'2/C" (rr') +
+ a2 (r2 + m8~1/4) /С (rr')j dr' = (LrKT) (r). Коммутация операторов Lr и /( доказана.
63
Дифференциальная операция из (2.46) после изменения масштаба г=аг\ может быть представлена в виде
^О-ч2)^*, Л) +
+(A-aV+iZi^)r(a> Л) = 0. (2.48)
Видно, что уравнение (2.48), если положить /п=1/2 и а2=с, является частным случаем уравнения (1.11) для в. у. с.ф. В пределе, когда а->-0, функции 7\„,(а, г) переходят в полиномы
Tml (а, г) -> Cr«+»/*F (- /, И - m + 1, m + 1; г2),
а->-0
где ^(а, 6, с; 2) — гипергеометрическая функция, С — нормировочный коэффициент. Убедиться <в этом можно непосредственной подстановкой в дифференциальное уравнение (2.48). Эти полиномы тесно связаны с так называемыми полиномами Цсрнике.
Мы не будем в данной книге подробно исследовать свойства гиперсфероидальных функций. Читатель, заинтересовавшийся этими вопросами, может обратиться к оригинальным статьям, указанным в библиографических указаниях.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
Интегральные уравнения и представления для сфероидальных функций были получены в ранних работах Abraham (1898), Poole (1923) и Moglich (1927). Некоторые дополнительные интегральные представления приведены в работе Chako (1957). Подробное изложение всех этих результатов содержится в монографиях Meixner, Schafke (1954) и Фламмера (1962). Дифференциальное уравнение для собственных значений р,;(с) впервые встречается в статье Fuchs (1964), который использовал его для нахождения асимптотики ц;(с) при больших значениях параметра с. Slepian, Pollak (1961) и Rhodes (1963, 1965) подробно проанализировали связь в. у. с. ф. с преобразованием Фурье в конечных пределах и свойство двойной ортогональности в. у. с. ф. Гиперсфероидальные функции и их свойства были введены Heurtley (1964), Вайнштейном (1965а,б), Slepian (1964). Некоторые подробности математического характера содержатся в статье Кузнецова (1970), где приведены также наиболее полные и обоснованные результаты по асимптотике гиперсфероидальных функций. Перевод на русский язык ряда статей по теории и приложениям собственных функций преобразования Фурье в конечных пределах и их научную обработку осуществили Размпхшш и Яковлев (1971).
64
§ 3. Разложения сфероидальных функций в ряды
1. Предварительные сведения из теории цепных дробей. При разложении классических специальных функций: гипергеометрических, функций Бесселя и др. в степенные и другие ряды для коэффициентов разложения, как правило, получаются двучленные рекуррентные соотношения, которые позволяют найти явные выражения для коэффициентов. При разложении сфероидальных функций в ряды по элементарным функциям и простейшим специальным функциям лучшее, чего удается добиться, это трехчленные рекуррентные соотношения для коэффициентов. Эти соотношения не дают возможности выписать явные выражения для п-ro коэффициента и собственных значений задачи Штурма—Лиувилля. Однако трехчленные системы имеют все же определенные преимущества перед системами с большим числом членов, поскольку они тесно связаны с аппаратом цепных дробей, достаточно эффективным как в вычислительном, так и в теоретическом отношении.
Нам понадобятся в дальнейшем некоторые понятия и утверждения из теории цепных дробей (подробнее см. Хованский, 1961; Wall, 1948). Цепной или непрерывной дробью называют выражение
для которого часто используют упрощенную запись
^0 +
(3-1)
п
ь +
ь0 +
b2 +
5 И. В. Комаров и др.
6>
или
Конечную цепную дробь
+ <33>
называют n-й подходящей дробью цепной дроби (3.2), причем Рп и Q„ находятся из рекуррентных соотношений
Q4=^Qft-i+aftQk-2, * = 1, 2, ..., (3.4)
Л>=&о, Qo=l, P-i=l, Q-i=0. При Л0=0 надо брать Ро=0, Q0=l, P_, = Q_i = 0.
Цепная дробь называется сходящейся, если существует конечный предел lim (Pn/Qn) = а, который прини-
п-?са
мают значением цепной дроби. Если lim (PjQn)=±°°,
цепная дробь называется несущественно расходящейся, и, наконец, если lim (P„/Qn) не существует, цепную
дробь называют существенно расходящейся. Отбрасывание или добавление конечного числа начальных звеньев в сходящейся цепной дроби может оставить ее сходящейся или превратить в несущественно расходящуюся, но не может превратить в существенно расходящуюся. Условие
а„ Р
является достаточным для сходимости цепной дроби (3.2). Если неравенство (3.5) выполняется, начиная с некоторого п0, дробь может быть либо сходящейся, либо несущественно расходящейся. В дальнейшем мы не будем отделять случай несущественной расходимости от сходимости.
Цепные дроби допускают основное тождественное преобразование
Ь,
"1 я2
