Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
ме
Xk = 2 cos
nk
k = 1, п.
п + 1'
Так как степень характеристического многочлена равна п, то найденная система содержит все корни характеристического многочлена, причем кратных корней нет. Эти корни вещественны и представляют собой полный спектр рассматриваемой симметрической матрицы А. Поэтому 2/ =
п
пк
2 cos -
71 + 1
¦vi
COS
nk
71+ 1
2
Пример 69.2. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду (к главным осям) квадратичную форму
/ = х\ + х\ + х\ + 4жіЖ2 + 4жіЖз + 4Ж2ЖЗ,
и выписать этот канонический вид.
Решение. Матрица квадратичной формы / равна
[1 2 2l A= 2 1 2 .221
Известно, что при ортогональном преобразовании координат каноническими коэффициентами будут собственные значения матрицы А, а каноническим базисом - ортонормированный базис из ее собственных векторов.
Найдем собственные значения матрицы А. Имеем
1 - Л 2 2 2 1 - Л 2 2 2 1 -Л
( вычтем из 2-й = < и 3-й строк 1-ю > = L строку J
1-А 1 +А 1 +А
-1
= (1 + А)2
1-А 2 2 1 -1 О 1 0 -1
= 0.
Следовательно, Ai = А2 = — 1, Аз = trA — Ai — А2 = 5.
Найдем ортонормированный базис из собственных векторов матрицы А. Для А = — 1 линейно независимую систему собственных векторов образуют векторы /1 = (-1,1,0)т, /2 = ( — 1,0,1)т. Процесс ортогонализации приводит систему /1,/2 к ортонормированной системе
ei
i(-i,i,of,
є2
1,2)3
Для A = 5 линейно независимая система собственных векторов состоит из
одного вектора /3 = (1,1,1)т или, после нормирования, ез
162
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
Таким образом, каноническим видом квадратичной формы / в ортонор-мированном базисе еі,Є2,ез будет форма
-УЇ -УІ + 5у|, матрица преобразования координат равна
Q =
1 1 1 -і
V2 1 і у/5 і
V2 0 2 1
v/6 v/3 J
и следовательно, формулы преобразования координат имеют вид
-ft1 -^2 +^уз'
2 1
ТьУ2 + 7=зуз-
Xl = X2 = X3 =
Пример 69.3.
Проверить, что квадратичная форма g = х\ 4- Ьх\ +
Зж3 + 2жіа;з положительно определена, и найти канонический вид, к которому приводится квадратичная форма / = 8х\ — 28x1 4-14^3 4- 16х\Хз + Ых\хз 4 32х2хз преобразованием координат, приводящим квадратичную форму g к нормальному виду, не находя самого этого преобразования. Решение. Квадратичные формы / ир имеют матрицы
Г 8 8 7 1 г 1 0 1 і
A = 8 -28 16 и B = 0 4 0
7 16 14 1 0 2
Угловые миноры матрицы В положительны (Ai = 1, A2 = 4, Аз = 4) и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма g положительно определена. Известно (задача 69.14), что если общим преобразованием координат квадратичная форма / приводится к каноническому виду, а квадратичная форма g к нормальному виду, то канонические коэффициенты Лі,... ,An квадратичной формы / определены однозначно (с точностью до их порядка) и являются корнями А-уравнения пары форм / и g: \А — ХВ\ = 0.
Найдем эти корни. Имеем *
\A-\B\ =
8-А 8
7-А
8
-28 - 14А 16
7-А
16 14-2А
вычтем из 3-й строки удвоенную 1-ю строку
}-
8-А 8
А-9
8 7-А
-28 - 14А 16 0 0
(А-9)
8 7-А
-28 - 14А 16
= 4(А-9)(А2-81) = 0.
§69. Формы в евклидовом и унитарном пространствах
163
Таким образом, Ai = А2 = 9, Аз = —9и каноническим видом квадратичной формы / будет форма
9yi2+9y22-9y|. . Пример 69.4. Проверить, что в паре квадратичных форм
/ = —х\ — 2х\ 4- 2хіх2 4- 4жіжз — Ібхгяз, g = х\ 4- 2х\ 4- 26ж| — 2х\Х2 4- Ъх\х$ — 2х2хз
одна из форм положительно определена. Найти преобразование координат, приводящее эту форму к нормальному виду, а другую - к каноническому виду, и выписать этот канонический вид.
Решение. Квадратичные формы / ир имеют матрицы
A =
-1 1 2 1 -2 -8 2-8 0
В =
4 -1 26
Квадратичная форма / не является положительно определенной, так как в матрице А угловой минор Ai = — 1 < 0. Угловые миноры матрицы
8 положительны (Ai = A2 = Аз = 1)и согласно критерию Сильвестра квадратичная форма g положительно определена. Приведем квадратичную форму g к нормальному виду, пользуясь методом Лагранжа:
9 = (xi - X2 4- 4хз)2 4- х\ 4- 10x1 4- 6х2хз = (х\ —х2 + 4я3)2 4- (х2 4- Зж3)2 4- х\.
Преобразование координат
у\ = Xi -х2 4-4ж3, У2=ж24-3жз, Уз = яз
' Xi ¦ ' Vi г
X2 = Qi У2 , где Qi -
. X3 . L уз J L
xi = у\ 4- у2 - 7у3, х2 = у2 - Зуз, хз = уз, т.е. в матричной записи
1 1 -7 0 1 -3 0 0 1
приводит квадратичную форму g к нормальному виду у2 4- У2 4- у|. При этом матрица В квадратичной формы g преобразуется в матрицу В\ = I и выполнено соотношение I = QlBQi.
Выясним, как выглядит квадратичная форма / в новых переменных уі,У2,уз- Матрица А квадратичной формы / перейдет в новую матрицу Ai, связанную с А соотношением Ai = QjAQi. Имеем
г 1 0 0 1
Ai = 1 1 0
-7 -3 1
-1 1
1 -2
2 -8
- г 1 1 -71 г -1 0 61
0 1 -3 _= 0 -1 -3
0 0 1 6 -3 -5
Таким образом, квадратичная форма / имеет вид
/і = -Уі - У2 - 5у2 4- 12уіу3 - 6у2уз. Приведем эту квадратичную форму к главным осям, т.е. найдем ортогональную матрицу Q2 перехода к новым переменным так, чтобы новая матрица A2 = Q2AiQ2 квадратичной формы стала диагональной. Следует
