Алгебра и аналитическая геометрия: Теоремы и задачи. Том 2 ч.2 - Ким Г.Д.
ISBN 5-94373-077-Х
Скачать (прямая ссылка):
4) векторы базиса записать в обратном порядке?
67.6. Квадратичная форма и линейный оператор имеют в некотором базисе одинаковые матрицы. Какой должна быть матрица перехода от этого базиса к другому базису для того, чтобы в другом базисе матрицы квадратичной формы и линейного оператора также совпадали?
67.7. Треугольным преобразованием координат называется преобразование вида
El = ?112/1+ ?122/2+ • • • + ЯіпУп, X2 = ?22 J/2 + • • • + ftnj/n)
«E/i — ЯппУп)
где qu ф 0, г = 1, п. Доказать, что:
а) треугольное преобразование не вырождено и преобразование, обратное у нему, тоже треугольное;
б) угловые миноры Дд., k = 1, п, матрицы квадратичной формы при треугольном преобразовании координат, в котором все коэффициенты qu, і = 1,п, равны 1, не изменяются.
67.8. Доказать, что:
а) для того чтобы квадратичную форму / ранга г треугольным преобразованием можно было привести к каноническому ви-ДУ
_ / = Ai2Z12 + ... + ArJ/r2,
где Хк ф 0 (к = 1,г), необходимо и достаточно, чтобы угловые миноры матрицы А квадратичной формы удовлетворяли условиям
Д*^0 (*<r), А, = 0 (*>г);
148
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
6) указанный канонический вид определен однозначно, причем его коэффициенты находятся по формулам
Afc = -г-, k = 1,г,
где Д0 = 1.
67.9. Найти канонический вид для следующих квадратичных форм:
1) 4a?i + 4ххх2 + Ъх\] 2) х\ — X1X2 — х\\
3) 25х* + 30ZiZ2 + 9Z2*; 4) -х\ + 2x1X2 - 2х\]
5) — \Ьх\ +24XiZ2-Эх*; 6) zj + X2*+ 4x3 + 4x^ + 2x2X3;
7) Z^ — ЗХ2 — 4Z3 + 2zxz2 + 2ziZ3 - 6z2z3;
8) x\ + bx\ — 4zg + 2Z1Z2 — 4Z1Z3;
9) 4xf + x\ + x\ — 3Z1Z2 + 4X1X3 - 4x2x3;
10) -\2x\ - Ъх\ - \2x\ + 8X1X2 - 24X1X3 + 12x2x3;
11) x\ + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2X1X3 + 2x2x3 + 2x3x4;
12) —X1 — x\ — x\ + X1X2 + X2X3.
67.10. Доказать, что билинейная форма А(х,у) в п-мерном пространстве симметрична тогда и только тогда, когда существует базис ei,..., еп пространства, в котором она имеет вид
п п п
А(х,у) = E ^к^кУк, Vx = E хкек, Vy = E УкЄк-
к=1 к=1 к=1
67.11. Найти канонический вид и преобразование координат, приводящее к этому виду, для следующих квадратичных форм:
1) 2х\ + 18x1 + 8xl - 12X1X2 + 8X1X3 - 27х2х3;
2) 2х\ + ЗХ2 + 4хз - 2X1X2 + 4х2х3 - Зх2х3;
3) 9x1 + AxI + xl ~ 12X1X2 - 6X1X3 + 4х2х3;
4) Sx\ + 8х2 + х3 + 16X1X2 + 4X1X3 + 4х2х3;
5) Ъх\ — 2х\ + 2х\ + 4X1X2 — 3X1X3 — х2х3;
6) х\ + 4x2 + 6x4 - X1X2 + х2х3 - X3X4;
7) X1X2 + х2х3 + X3X4 + X4X1;
8) Ъх\ + 2x2 — х1~ 2я4 + 2X1X2 - 4х2х3 + 2х2х4;
9) X1X2 + 2х2х3 — Зх3х4;
10) х\ + х\ + X3 + х\ + х\ + х\ - 2X1X3 - 2х2х4 - 2х3х5 - 2х4хб;
п _
H) E akajXkXj, где не все числа аь і = 1,п, равны нулю;
к J=I
12) E xl + E XuXj] 13) E xkXj\ 14) E хкхк+1]
к=1 k<j k<j к=1
§67. Формы в линейном пространстве
149
15) E (я* - 5)2, гДе 5 = + "' + Жп; !6) E \к - І\ ' ^kXj]
к=1 Tl k<j
17) Ах\ - UiX1X2 - 9х22] 18) 9х\ + 24(1 + г)ххх2 + 16х2]
19) {X1X2] 20) (1 + г)х\ + (2 + 2^x1X3 + гж| + Зх*;
21) я? + (2 - 2^x1X2 + 2X1X3 + 2ix\ + (2 + 2г)х2?з + (1 + «>з5
22) -х\ - Mx1X2 - (2 - 2^x1X3 + 4х?> -(4 + 4г)х2х3 + 2гх3.
67.12. Показать, что отношение конгруэнтности является отношением эквивалентности на множестве квадратных матриц одинакового порядка.
67.13. Доказать, что две квадратичные формы от п переменных эквивалентны тогда и только тогда, когда их матрицы конгруэнтны.
67.14. Для следующих квадратичных форм найти невырожденное линейное преобразование координат, переводящее форму/в форму д:
1) / = 2х\ + 9х\ + 3x1 + 8^1X2 — 4X1X3 - 1Ox2X3, д = 2у2 + Зу| + 6yl - Ay1V2 - Ay1V3 + 8y2j/3;
2) f = Зх2 + 1Ox2* + 25х* - 12X1X2 - 18X1X3 + 4Ox2X3, д = 5у2 + 6yl + Uy1V2]
3) / = Ъх\ + Ъх\ + 2X3 + 8X1X2 + 6X1X3 + 6х2х3, 9 = Ы + Vl + 9?2 - 122/12/3-
67.15. Выяснить, какие из следующих квадратичных форм в вещественном пространстве эквивалентны между собой:
1) J1 = х\ - х2х3, J2 = V1V2 - J/1, /з = Z1Z2 + zf;
2) Z1 = X1 + Ах\ + жз + ^x1X2 - 2X1X3,
/2 = 2/1+ 22/2 - Уз + 42/iJ/2 - 22/12/3 - 42/22/3, /з = -4z? - z\ - z\ - Az1Z2 + 4(i1Z3 + 18z2z3.
67.16. Доказать, что в линейном пространстве Епхп выражение tr(X2) задает квадратичную форму. Определить ее ранг.
і
67.17. Показать, что выражение I(f,g) = J f(t)g(t)dt явля-
-1
ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче-нов Mn. Привести ее к каноническому виду при n = 3.
1
67.18. Показать, что выражение /(/, д) = J f'(t)g'(t) dt явля-
-1
ется симметричной билинейной формой в пространстве многоче-нов Mn. Привести ее к каноническому виду при n = 3.
150
Глава XVII. Билинейные и квадратичные формы
§68. Квадратичные формы в вещественном и комплексном пространствах
Пусть А(х, х) - квадратичная форма в вещественном пространстве. Общее число ненулевых коэффициентов в каноническом виде квадратичной формы ранга г равно г. Число п положительных коэффициентов называется положительным индексом инерции квадратичной формы, а число v = г - it - отрицательным индексом инерции, их разность а = п — v - сигнатурой.
Теорема 68.1 (закон инерции). Положительный и отрицательный индексы инерции вещественной квадратичной формы не зависят от выбора канонического базиса.
