Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
— полный интеграл исходного уравнения.
Получающиеся решения — цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны плоскости х, у, поскольку решение z есть функция только ах~\-Ьу,
Пример. 9(p2z + q2) = 4. Указанная выше подстановка дает:
2 — z0 = a{x—x0) + b(y — y0)0.
2 = ?(?). l = ax-\-by.
F&, <?', *О = 0. Разрешим его относительно XJ:?' = /(?); тогда при /фО
откуда получаем:
з
(а%+Ь*)2 = ±а2(| + с) при афО, С=±Ц--|-с при а = 0,
и, следовательно, решения имеют вид соответственно
(a2z+b2)3 = a4 (ax + by + с)2, 2=±-|у + с.
линия, принадлежащая плоскости
"¦71 § И. РЕШЕНИЕ ЧАСТНЫХ ВИДОВ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИИ ИЗ
8 Э. Камке
11.4. p — f{x, q) и q=zg(y, р). Если в первом уравнении рассмотреть q как параметр: q — a, то получится полный интеграл
z = j fix, a) dx -f- ay -f- b.
Аналогично полный интеграл второго уравнения записывается так
z = J" g(y, a)dy-\-ax-\-b.
Эти полные интегралы являются цилиндрами с образующими параллельными плоскостями yz и xz соответственно.
11.5. f{x, p) = g(y, q) и F[f(x, pq(?)), g(y, W(*))] = 0.
Эти дифференциальные уравнения — с разделяющимися переменными.
При решении первого дифференциального уравнения полагают: fix. р) = а, g(y, q)=a
для любой постоянной а и решают эту систему дифференциальных уравнений; получается полный интеграл исходного уравнения. Другая форма этого метода: выполняется подстановка z~u(х)-4-v(у); тогда для и, v получают обыкновенные дифференциальные уравнения
/ О, и') = a, g (у, v') = а.
Метод п. 9.3 приводит к такому же результату.
О решении второго, более общего дифференциального уравнения см. п. 13.3.
11.6. f(x, p)-\-g(y, q) = z. После подстановки z = и (х) -f - v (у)
получают:
fix, u,ix)) — uix) = v(y) — giy, v'iy)).
Решив обыкновенные дифференциальные уравнения
fix, и') — и —a, v — giy, v') — a
с произвольным а, мы получим для данных дифференциальных уравнений полные интегралы.
11.7. p=f(-?, q} и f(%, Р, Q, xp-{-yq —.яг)=0. Первое
из этих дифференциальных уравнений — частный случай второго. Из характеристических уравнений следует:
xp'it) + yq'it) = 0
и, далее,
-jfiz — хр— yq) = 0,
114 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [11.8
т.е. z — хр— уд— первый интеграл. Поэтому, согласно п. 9.3, получают интегралы данных дифференциальных уравнений, разрешая оба уравнения
xp-\-yq = z + a, F^,p.q.aj = 0 относительно р, д и вычисляя по ним г.
11.8. F(xp~\-yq, z, р, q) — 0. Из характеристических уравнений следует, что д/р — первый интеграл. Следовательно, согласно п. 9.3, получаем полный интеграл данного дифференциального уравнения, решая систему дифференциальных уравнений
F (р(х-{-ау), z, р, ар) —0, д = ар.
11.9. рг~\- ф— f(x2~\-y2, ур — xq). Из характеристических уравнений вытекает, что ур—хд — первый интеграл. В силу п. 9.3, полагая ур — хд — а, можно определить z из соотношений
ay . xR ах , yR n = -i--l--, д =---UZ_
где
г = лг2-4-у2, R2=rf(r, a)— a2. Отсюда получается полный интеграл
z = — aaictg-^-+- J* -^dr+b.
Рассматриваемое дифференциальное уравнение можно также преобразовать к полярным координатам р, ¦&, положив
z(х, у) — ?(р, г>), Jc = pcos'&, y = psini}. Тогда получается дифференциальное уравнение
?р+^2-?» = /(р2. — ?е)
типа 11.4; отсюда при So= — о находим:
сг>± Г i-VWCP*. a)—a2rfp-f?.
J Р
11.10. F\f(x)p, g(y)q, ?J=0. После замены в этом уравнении переменных
*(*.У) = С(Е.П>. l-jjk- ты (2)
11.11) § II. решение частных видов нелинейных уравнении Ц5
8*
приходим к дифференциальному уравнению типа 11.3:
f(k. С,. 0=0.
п
(а) 21 I/ (*) pfv lg (У) qfv К (*) = 0.
v=l
Заменой переменных (2) это уравнение приводится к виду
i«vft (0==0.
v=l
Пример. (-4—Т+{-А—X Z^Z^b. у г \ COS2 X ) 1 \ sin2 у )
Замена переменных
г {х, у) = I (I, п), ? = ^ + -|-sin2.*:, •»]=—-I-sin2y приводит к уравнению
ас
?f + ?^ = ?e-6. (3)
П
(б) 2evpVv*Vv = 0. K + Pv + Yv)^ — (av + Pv^ = 6 .
v=l
для фиксированных (не зависящих от v) чисел 1 и 6.
Это—однородное уравнение. Замена z=u% в случае, если все av= const, приводит к уравнению типа 11.2:
2 с ?л+%%Л = о.
v = I
Если же av — cv (jc, у), то та же замена приводит к уравнению типа 11.13.
Пример. Написанное выше дифференциальное уравнение (3) как раз
гт* а — Ь . ас 1
рассматриваемого типа. Для а —----, о =--- и С = и
* a—b—с а—Ь—с s
получаем:
авы| + а6ы| = 1.
(в) Если для дифференциального уравнения (б) имеет место условие: av + |\ + Yv — 6 — фиксированное (не зависящее от v) число, то это уравнение подстановкой z — e" приводится к типу 11.2:
2 а кЧА = 0.
~ v лг у
11.11. /(/>, q) = xp~\-yq; / однородна по р, q. Пусть f(p, q) — однородная функция ге-й степени.
') Обобщением этого уравнения является случай 13.4.
116 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ (11.12
