Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка - Камке Э.
Скачать (прямая ссылка):
2) См. Камке, D. Glen, стр. 359—362; Т. Wazewskl, Annates, Soc. Polon. 14 (1935), стр. 149—177.
106
ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ [10.4
следует:
# = 2г|, г = т|2 — 4 (х — I) т|2, у = т] — 4(х — ?) tj. Из последнего уравнения получаем:
так что
Пример 2. р = In q (q > 0); ю (rj) = т|2 (т| > О). Из характеристических уравнений
y' = -I *' = ln9-l, ?' = 0
следует:
9 = 2т], г = (1п2т] — 1)(лг — 1) + ц*, Из последнего уравнения получаем:
У
1-х
(квадратный корень надо брать положительным, чтобы у = г) для х — ?). Отсюда находим для х — \ < интеграл в параметрическом представлении
10.4. Представление решения степенным рядом в случае аналитических функций1). Рассмотрим снова задачу с начальным условием для дифференциального уравнения (8). Встречающиеся функции и переменные могут быть теперь комплексными.
Пусть в окрестности точки (х0, у0, z0, q0) функция f(x, у, z, q) является аналитической функцией комплексных переменных х, у, z, qy т. е. она разлагается в абсолютно сходящийся степенной ряд
f (-*-> у, z, q) = 2 aKtKiluv(x — x0f (у — y0f (z — z0f (q — q0)v.
Далее, пусть и (у) в окрестности значения у=у0— регулярная функция комплексного переменного у и
Тогда в достаточно малой окрестности точки (х0, у0) дифференциальное уравнение (8) имеет ровно одно решение z = ф (х,_ у), которое
¦) См. J. Horn, Partielle Differentialgleichimgen, Berlin und Leipzig, 1929, стр. 161—166; О. P e г г о n, Math. Zeitschrift 5 (1919), стр. 154—160.
t_
x
г=(1п2т]-1)(л:-Й + г12, y = i
24
K, A, \l, V
®(yo) = zo. <°'(Уо) = %• "
10.5| § 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 107
--—-—- , [1, v = 0, 1, 2, 3.....
(i!v! \dxfxdyv)o
где индекс «0» означает, что производная вычислена при значениях х — х0, у = у0. Но из начального условия (12) следует, что
(—) =
»(v,(y0).
а из уравнения (8) находим:
или, после v-кратного дифференцирования по у,
Дифференцируя соотношение (8) по х и затем v раз по у, получаем / d2+vz \
\—^-), V—0, 1, 2, ... Таким образом, мы можем получить
V дх* dyv )
значения всех производных функций z в точке (х0, у0) и тем самым найти- все коэффициенты разложения интеграла ф(х, у).
10.5. Более общие разложения в ряды'). Переменные теперь ¦снова предполагаются действительными. Пусть дано дифференциальное уравнение, разрешенное относительно одной из производных;
СО СО
р= 2 S/^v(*. y)Av; (13)
ц=0 v=0
отыскивается интеграл этого уравнения, который при х — 0 равен данной функции ю(у)'.
Формально процесс решения проходит так. Подставим
on
z=2<Pp(*. У) (14)
p=i
') См. О. Perron. Sitzungsberichte. Heidelberg, 1920. Abh. 9.
в этой окрестности является аналитической функцией, т. е. представляется абсолютно сходящимся рядом
Ф (*• У) = 2 с v (* — xof (У — Уо)"'
и которое при х = х0 принимает значение
Ф(*о. У) = »(У)- (12)
Коэффициенты с v искомой функции z можно записать так:
108 ГЛ. II. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ |10.5
в дифференциальное уравнение (13); при этом пусть
<Pi(0. У) = «>(У); Фр(0. У) = 0 для р>2; (15)
тогда функция z заведомо удовлетворяет начальному условию. После подстановки (14) в (13) и проведения необходимых выкладок получаем:
2-^ = 1 ц,|...и,| v1i...v<i^v<Pi,-<Pr4ay-j -iayj • <16>
p=i
Здесь суммирование производится по всем числам р 0, v ^> 0, р,-4- ... -4-рг = (х, Vj+ • • • 4-vi = v. Правая часть уравнения (16) после упорядочения приводится к следующему виду:
оо оо
2^=2ир^' <17>
р=1 р=1
при этом в каждом слагаемом ир должно быть собрано конечное или бесконечное число членов правой части уравнения (16) таким образом, чтобы Oj не содержало функций tpp, а каждое <ор содержит лишь функции q>j, фр_!.
Уравнение (17) (а вместе с ним и уравнение (13)) формально выполняется, когда функции tpp выбраны так, что
д<Рр , о
-дГ = %- Р=1. 2. ...
Прежде всего имеем:
= ©,(*, у), где ю, (х, у) = /оо (х, у), откуда, в силу (15), получается:
X
<PiO. У) = //оо(*. y)dx-\-a(y).
о
Теперь на основании (16) может быть найдена функция ю2; она зависит только от ц>х(х, у) и потому дает возможность определить
х
tp2— j a2dx. о
Далее может быть вычислена о>3; так как она зависит, самое большее, от уже известных теперь <рх, q>2, то можно найти
х
I0.5| § 10. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 109
дуп | ^ дуп
стоящие справа производные растут (или постоянны) монотонно по х при фиксированном у;
(Р) функции и (у), Q(y) непрерывно дифференцируемы сколько угодно раз при 0^у-^й и удовлетворяют неравенству
\<*{П){У)\<&"\у) (я = 0. 1, 2, ...);
(у) дифференциальное уравнение
со со
?-2 Е'* .<-¦*>«"(?)*
ц-0 v=0
имеет в области (18) интеграл z(x, у) с непрерывными частными производными
dnz JP_dz_ , _n , 9 ч ду" ' ду" дх \п — и' А. ••¦)'
удовлетворяющий условиям
