Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
/!->oo 11
как в примере XXXI. 14. [Если х рационально, то sina(m!-x), а следовательно, и sign {sin2 (mlizx)} равно нулю для всех значений т, начиная с некоторого; если х иррационально, то sm*(m\~x) всегда положительно, и следовательно, sign {sin2 (тЫх)} = 1.]
Доказать, что у может быть также представлено в виде
1 — lim [lim {cos (т1кх)}іп].
m-*-oo п—юо
25. Просуммировать ряды
у 1 - у____
Ziv(v + 1)' ^ v(v + l)...(v + A) '
1 1
[Так как
1 If 1 1
L і__1___I_I
k lv(v + l)...(v+A —1) (v + l)(v + 2)...(v+A)J >
v(v+l)...(v + A) к lv(v + l)...(v+A-l) (V + 1)(V + 2)...(V+A)J
мы имеем:
2V(v+"0TT7(7+A)"= T{ь2ТГа~(n + l)(« + 2)...(« + ?)} ' и, следовательно,
со ^
2 v(v + l)...(v + A)" = AW) • 1
26. Если [*| < |o|, то
— t(' + 7 + 5 + -)'
Z — o
а если ]z| > І а], то
-^-=-^1 + - + -+.. V
z-a z \+ z +z2^---y
Л z + ?
27. Разложение-- TT ,— по степеням z. Пусть а и ? суть корни
?Z +- i??Z -j— С
уравнения ez* +26z+с = 0, так что az2 + 2&z + с = a(z — a)(z — ?). Мы предполагаем, что А, В, а, Ь, с все действительны и что а и ? не равны. Тогда нетрудно проверить, что
Пределы, функций от целочисленного переменного 169
az* + 2bz + с а(а—р)\ z — о z — ?
Следует различать два случая: Ь*>ас и Ь2<.ас.
(1) Если Ь*> ас, то корни а, ? действительны и различны. Если \г\
меньше [а| и [?|, то мы можем разложить - и -5 по возрастающим
Z — Л Z — ?
степеням г (пример 26). Если \z\ больше чем |а| и l?|, то мы должны разлагать по убывающим степеням z. Если же \г\ заключен между |а| и J?|, то одна дробь должна быть разложена по возрастающим, а другая—по убывающим степеням z. Читателю предлагается записать соответствующие формулы. Если \ z\ равен [о| или |?|, то разложение невозможно.
(2) Если Ьг < ас, то корни комплексно сопряжены (гл. III, п. 43), и мы можем положить
a = pCistp, ? = pCis(— tp),
где pa = a? = -^-, pcostp = i(a + ?) =— , так что cos tp = — J/^~^T>
sin ® = I/ I--.
т V ac
Если |z|<p, то каждая дробь может быть разложена по возрастающим степеням z. Коэффициентом при zn будет
Лр sin щ 4- В sin {(я 4-1) to}
epn+1 sin tp
Если [z|>p, то мы найдем аналогичное разложение по убывающим степеням, тогда как при |z| = p разложение невозможно. 28. Показать, что если \z\ < 1, то
l+2z+ 3z^ + ...+ (n+l)z"+ ...= —
Г„ 1-z" nzn 1 |^Сумма первых п членов равна -- ^ — ^_г .J
29. Разложить--^ по степеням z — возрастающим, если ]г]<|о[, и
(Z а)"
убывающим, если |z|>|a|.
30. Показать, что если Ь- = ас и \az\ < \b\, то
az2 + 2bz + с ^
где рп = (—а)"Ь~п~* {(п + 1) аВ — пЬА}, и;найти соответствующее разложение по убывающим степеням z, которое имеет место, если \ az\>\b\.
31- ЕСЛИ a + bz + c*=l+p*z+pS + -- т0
l+PiZ + p,z -\-----а_м a2_^s_2ac)z + c2z2 ¦
(Экз. 1900 г.)
32. Если sin2"8^—¦ / при-л— со, то / = 0 и 8 — рациональное число, знаменатель которого является степенью 2. [Очевидно, что
Az + B _ 1 (AaSf-B А? + В\
170
Глава четвертая
где рп — целое число, с — постоянная и і\п —» 0; следовательно, Рп+1 — 2рп — с + — 2% = 0.
Так как рп+1 — 2рп — целое число, это возможно только в тех случаях, когда либо (1) с = 0, так что / = 0, либо (2)р„+1 = 2/7„ и 'In+1 = 2?, начиная с некоторого значения л, скажем, для п^п0. Но тогда
при V— оо, а это возможно только в том случае, когда і]П() = 0, так что 2"°9 =/>„,.
Поучительно рассмотреть sin а"8^, где а — целое число, большее 2.
Тогда возможно, что 1ф0\ так, например, sin9"9t-^l, когда 8 = ~.J
33. Если Р(п)— многочлен от л степени т с целочисленными коэффициентами и sin {P (л)8-} — 0, то G рационально.
[Лучше всего доказывать больше Ч, а именно, что если
Р(л)8 = А„4-а„ + е„, (1)
где ' kn — целое число, ап может принимать конечное число значений и sn — 0, то 8 рационально.
В первую очередь, если мы в (I) заменим л на л + 1, вычтем и заметим, что P (л 4-1)—P(л) — многочлен степени пі — 1 и что ал+1 — ап может принимать только конечное число значений, то мы получаем индукцию от т — 1 к т. Задача, таким образом, сведена к случаю яг = 1, Р(п) = Ап + В. В этом случае (I) дает
АЬ = (An+1 — An) + (ап+1 — o„) + (sn+1 — sn).
Это возможно только, если s„+1 — Sn = O для а тогда
ап = ап0 + 1п+(п~ »о)АЬ,
где /„—целое число, л^л(,. Так как а„ может принимать только конечное число значений, то и 1п-\-пА% принимает только конечное число значений, а, следовательно, 9 рационально.]
1J Это рассуждение принадлежит Ингаму,
ГЛАВА V
ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
90. Пределы при X стремящемся к оо. Возвратимся теперь к функциям от непрерывного действительного переменного. Мы ограничимся исключительно однозначными функциями 1J и будем обозначать такие функции через ср (х). Мы предполагаем, что х принимает последовательно все значения, соответствующие точкам нашей основной прямой линии Л, начиная с некоторой определенной точки на ней и двигаясь все время вправо. В этих условиях мы будем говорить, что X стремится к бесконечности, или к оо, и писать д;->оо. Единственным отличием этого „стремления X к со" от рассмотренного в предыдущей главе „стремления п к со" является то, что X принимает все значения при своем стремлении к оо, т. е. что точка Р, соответствующая х, совпадает по очереди с каждой точкой прямой Л, расположенной правее исходного положения Р, тогда как п стремится к бесконечности скачками. Мы выражаем это отличие, говоря, что л: непрерывно стремится к со.
