Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
где a, J3, у — числа, которые также могут быть приближенно определены с помощью эксперимента.
Этот поучительный пример заимствован нз книги Н. S. Cars] aw, Introduction to the calculus*
W = Ap,
's»
pv=a,
(1)
(2)
48
Глава вторая
Оба эти уравнения, даже если их взять вместе, отнюдь не дают, конечно, полного отчета о действительном соотношении между р и v. В действительности это соотношение, несомненно, значительно более сложно и его вид изменяется от вида, близкого к (1), до вида, близкого к (2). Но с математической точки зрения ничто ие может помешать иам рассматривать идеализированное положение вещей, при котором для всех значений v, не меньших некоторого значения V, в точности имеет место соотношение (1), тогда как (2) в точности имеет место для всех значений v, меньших чем V. И тогда мы можем рассматривать этн оба уравнения как определяющие вместе функциональную зависимость р от v. Это — пример функции, которая для некоторых значений v определена одной формулой, а для других значений V — другой.
Функция эта обладает свойством (2): каждому значенню v соответствует только одно значение р. Но она не обладает свойством (1), так как р ие определено как функция от v для отрицательных значений v; ,отрицательный объем" ничего не означает, и поэтому отрицательные значения v не рассматриваются.
о. Допустим, что абсолютно упругий мяч падает (не вращаясь) с высоты -g- ^t2 на неподвижную горизонтальную плоскость н каждый раз отскакивает от и ее.
Известные формулы из элементарной динамики, с которыми читатель, вероятно, знаком, показывают, что Л= -g- gt2, если 0 ^ / г~: •c, h = -^- g (2т—t)z, если t^^3t, и иообще
h = \g{2ni-tf,
если (2я — 1) т =?; (2я -f- l)t, где h—разность высот начального положения мяча и положення его в момент времени t. Здесь h также является функцией от t, определенной только для положительных значений t.
6. Пусть у определено как наибольший простой делитель х. Здесь мы имеем пример определения, которое применимо к специальному классу значений х, а именно, к целочисленным значениям. ,Наибольший простой
делитель д- или У~ 2, или гс" ничего не означает, и наше определение
отказывается служить для таких значений л:. Таким образом, эта функция не обладает свойством (1). Она обладает свойством (2), но не обладает свойстиом (3), так как ие существует простой формулы, выражающей у через х.
7. Пусть у определено как знаменатель х, когда х выражено в виде несократимой дроби. Это — пример функции, которая определена только
для рациональных значений х. Так, например, у = 7, если x = -j, но у не определено для X = у~2.
21. Графическое представление функций. Допустим, что переменное у является функцией переменного х. Вообще говоря, ничто не мешает нам рассматривать также х как функцию от у, в силу той же самой функциональной зависимости между х и у. Однако мы будем пока изучать это соотношение между х и у с первой точки зрения. Тогда мы будем называть х независимым переменным и у — зависимым переменным. Далее, когда специальный вид функцио-
Функции действительного переменного
40
нальной зависимости не известен или не дан, мы будем выражать ее записью
(или также F(x), у(х), (х),...).
Характер функций в очень многих случаях может быть выяснен и сделан легко обозримым следующим образом. Проведем две линии OX и OY перпендикулярно друг к другу и неограниченно продолжим каждую из них в обоих направлениях. Мы можем тогда^ представить значения хну расстояниями, измеренными от О, соответственно, вдоль линий Ox a OY. При этом, конечно, мы должны учитывать знаки; положительные направления указаны на фиг. 5 стрелками.
Пусть а будет некоторое значение х, для которого у определено и имеет (допустим) единственное значение Ъ. Возьмем OA = а, OB-=Ъ и построим прямоугольник ОАРВ. Пусть точка P отмечена на чертеже.-Эта отметка точки Pможет рассматриваться как указание на то, что значение ,у для х-= а равно Ъ.
Если значению х = а соответствует несколько значений у, скажем b, b', Ь", то вместо единственной точки P мы будем иметь несколько точек, в данном случае P1 P', Р".
Мы будем называть P точкой (a, b), а и b—координатами точки P относительно осей ОХ, OY; а—-абсциссой, Ь —ординатой точки Р; OX — осью х и OY—осью у, а вместе — осями координат, и, наконец, О ¦ или просто началом.
Предположим теперь, что для всех значений а переменного х, для которых у определено, значение b (или значения b, b', b",...) переменного у и соответствующая точка P (или точки Р, P', Р",...) найдены. Совокупность всех таких точек мы называем графиком функции у.
Возьмем очень простой пример, а именно, предположим, что у определено как функция от х уравнением
Фаг. 5
¦ началом координат,
Ax -f-fiy + C = О,
О)
где А, В, С —некоторые фиксированные числа 1L Тогда у является функцией от х, обладающей всеми тремя свойствами (1), (2), (3) п. 20. Легко показать, что графиком у является прямая линия. Читатель, вероятно, знаком с каким-либо доказательством этого
