Курс чистой математики - Харди Г.Х.
Скачать (прямая ссылка):
298
Глава седьмая
3. Доказать, что если z=f(ax-{-by), to
^ dz_ dz
dx dy
4. Найти Xx, Xy..... если X-\-Y=x, Y = xy. Выразить x и у как
функции от X и К, и найти хх, xY,----
5. Найти Xx,,.., если X+Y -\-Z = x, Y-\-Z=xy, Z=xyz. Выразить х, у к z через X, YhZk найти хх, ....
[Не представляет труда распространить понятия предыдущего пункта на функции от любого числа переменных. Но читатель должен отдать себе ясный отчет в том, что понятие частной производной функции от нескольких переменных определено только в том случае, когда указаны все независимые переменные. Так, если и=дг-(-у+2, причем х, у и z являются независимыми переменными, то их=\. Но если рассматривать «как функцию переменных х, X -\-у = *1 и X -\-у -f- z — С, то и = С и Ux = O.]
157. Дифференцирование функции от двух переменных.
Имеется одна теорема, относящаяся к дифференцированию функций от одного переменного, которая играет исключительно важную роль, но зависит от понятия частной производной, рассмотренного в предыдущем пункте. Это — так называемая теорема о полной производной. Она дает правило для дифференцирования по t функции /{9(0. Ш-
Допустим, в первую очередь, что f{x, у) янляется функцией от двух переменных X и у и что fx, f'y являются непрерывными функциями от X и у (см. п. 108) для всех рассматриваемых значений этих переменных. Теперь предположим, что изменения X и у ограничены тем, что точка (х, у) должна лежать на кривой
где ф и являются функциями от t, обладающими непрерывными производными ф' (г), (г). Тогда f(x, у) приведется к функции от единственной переменной t, скажем F if). Задача состоит в нахождении F'{t).
Допустим, что когда t изменяется от t,до t-\-x, х и у изменяются до X-J-S и y-\-f\. Тогда, по определению,
= Hm I{/(* + S, у + ті)-f(x, у)} =
—limГЯ* + Е>У + ті)— fix, у + --) . 1 і fix, у + --) —f(x, у) _ Vj
Ho, по теореме о среднем,
fix + i,y+-,)~f(x,y±^ =fi(x+ eS, у + T1),
Дополнительные теоремы 299
где 6 и 6' лежат между О и 1. Когда {—.0 и tj—-О, причем
!-VW.
Кроме того,
/; (X+es, у -f ¦n) (лг, j,), /; (лг, у +- 8-T1) ->-/; (*, j,).
Следовательно,
F' (о=ад? (о, ф (0}=/; (*> л ф' (о +/; (*. jo f ю.
где после дифференцирований по х и по у следует положить лт = ер(/) и _у==ф(г). Этот результат может быть также записан в следующей форме:
af__dfdx.dfdy dt ~~ dxdti by dt'
Примеры LXI. 1. Пусть
так что геометрическим местом точек (х, у) является окружность Xі 4-у1 = = 1. Тогда
V> (1 + t*)* 'x ^ (1 И2)2 У'
причем в правой части, после дифференцирований, х и у нужно заменить, соответственно, выражениями ^ и ^ ^1-.
Полезно проверить эту формулу в частных случаях. Допустим, например, что f (х, у) = X3+ у2. Тогда /^. = 2л:, /j,=2y и
(0 = 2^' (0 + 2y<V(r) = 0,
что действительно верно, так как F(t) = l.
2. Проверить таким же образом теорему в следующих Случаях:
(a) x = tm, у = 1— tm, f(x,y) = x+y;
(b) л: = a cos г, y = asin/, f(x, y) = xi+yi.
3. Одним из наиболее важных случаев является тот, в котором t = x. Тогда мы находим:
DJ {х, i>(x)} = DJ (х, у) + DJ (х, у) <!/ (лг), где после дифференцирования вместо у надо подставить ф(лг).
Обозначения ~? и ^ были введены в связи с рассматриваемым слу-
чаем; действительно, здесь под -^- можно было бы понимать как
DJ{x,<\>(x)}, так a DJ (лг, у), где в первом из этих выражений у следует положить равным ф (х) до, а во втором — после дифференцирования. Пусть, например, у=1—лг и f(x, у)=гх+у. Тогда DJ (х, 1—х)= Dx 1=0, тогда как DJ(х, у)==1.
В первом из этих случаев производную можно обозначить через J^,
а во втором ее обозначают через ^.; тогда теорема принимает вид
df^dfdfdy. dx дх *dydx'
300 Глава седьмая
/(*, У) =
лг2 +у2 '
/(х,У)=-гг7*(х+У),
если хфО, уф0 и /=0, если хотя бы один из аргументов равен нулю. Тогда
{' і \— 2У^—У2) f> . 2л:(л:2— у2) Jx ух, у)— 'xt , ;у (лг, у)_ ^2
во всех точках, кроме начала координат. Кроме того,
н аналогично /^,(0, 0) = 0. Таким образом, f'x и fy существуют для всех лг, у; но (как мы видели в п. 108) / разрывна в начале координат. Функция, определенная уравнениями
2лгу ' х2-\-у2
если хфО, уфО, и /=0, если лг = 0 илиу=0, непрерывна всюду, включая начало координат; для нее мы также находим, что
/>, 0)=/у(0, 0) = 0.
Положим теперь лг=у = г\ Тогда F(t) = f(t, t) = 1t и F' (0)= 2; но
при * = 0, так что результат предыдущего пункта не имеет места.
В дальнейшем мы будем предполагать непрерывность всех встречающихся производных.
159. Теорема о среднем для функций от двух переменных.
Многие из результатов последней главы следовали из теоремы о среднем:
/(* + А)-/(*) = hf (X + Щ.
хотя и эти обозначения не безукоризненны, так как функции/{л:, <Нлг)} и /(лг, у), вид которых как функций от л: совершенно различен, обозначаются в ^/- н ~ одной и той же буквой /. ах дх
4. Если результатом исключения t из уравнений х = <р (t), у = i> (t) является f (х, у) = 0, то
