Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
разд. 2.3.
Так, заданное множество функций Qt, принимающих матричные значения,
является преобразованием Фурье Pt непрерывного однородного процесса тогда
и только тогда, когда выполнено следующее условие. На множестве %
конечных линейных комбинаций функций u-Li (g) определяется функционал L,
являющийся пределом функционалов Ln вида
Lnf (g) = 2 С0 [/ (g[n)) - f (e)], c<,"> > 0 ;
V-i
(предел понимается в том смысле, что Lnu -+Lu для любой и € *?/)• Функция
Qt должна быть представима в виде
Q( = exp(M), 117
где матрица А = {аимеет элементы
&ij = LUij (g) .
Перейдем теперь к безгранично делимым законам распределения на G. Нас
интересует критерий того, что заданное распределение вероятностей может
быть вложено в непрерывный однородный процесс. Говорят, что распределение
вероятностей Р 6 йР (G) вложимо в непрерывный случайный процесс, если
существует такойнепрерывный случайный процесс Qt, что Р = Qt.
Теорема 3.2.7. Распределение Р вложимо в непрерывный однородный процесс
тогда и только тогда, когда
84
Гл. 3. Стохастические группы
существуют такие Рп d & (G), п = 1,2, . . . , что
р-р::
и
Доказательство. Необходимость этого условия проверяется почти
непосредственно. Действительно, если Р = Qi, то можно разложить Р на
множители Qi/n, т. е. Р = Qil*n. Рассмотрим непрерывную функцию Qt,
принимающую матричные значения. Так как эти матрицы конечномерны, то эта
функция непрерывна также в равномерной операторной топологии, и из
полугруппового свойства Qt+s = QtQs вытекает существование ограниченного
инфи-нитезимального порождающего оператора А. Но тогда
limn(Qi/u - /) = А,
п-уоо
так что
как и утверждалось.
Обратно, предположим, что Р может быть разложено на множители Рп, малые в
том смысле, что || Рп - / || = = О (1 /п). Мы хотим определить Qt для />
0. Пусть ги г2, . . .- неотрицательные рациональные числа. Рассмотрим
вероятностные меры Pn[nrvl*. Можно найти такую подпоследовательность мь
п2, ... , что слабые пределы
Игл Р1п кГу] =Qrv
h~^co
существуют при v = 1, 2, . . . ; надо только использовать компактность &
(G) и процедуру диагонального выбора. Заметим, что Qi = Р¦ Если г и s -
неотрицательные рациональные числа, то
3.2. Компактные стохастические группы
85
где е может принимать только значения 0 и 1. Переходя к пределу, получаем
Qr+s " Qr * Qs'
Чтобы распространить это определение на иррациональные значения
параметра, достаточно показать, что Qrбе при г ->0 по рациональным
неотрицательным значениям. Но мы имеем
|| 4 - Л1 = Пт || Р^-Л|
h -> со
И
ll^7]-/|i<li^fe-/|| 2 \\Plk\\<mh\\Pnk-i\\o(r),
что и завершает доказательство.
До сих пор не ясно, можно ли заменить О (1 /п) на о (1). Последнее было
бы эквивалентно тому, что последовательность Рп слабо сходится к 8е, а на
действительной прямой этого, как известно, достаточно.
Можно показать также достаточность для симметричных распределений Рп,
надо только исследовать собственные значения эрмитовых матриц Рп. В общем
компактном случае это рассуждение не проходит; неприятность проистекает
из того, что корень п-й степени является многозначной функцией на
комплексной плоскости. Иными словами, трудность заключается в разделении
ветвей логарифмической функции.
Можно упомянуть, что если распределение Р безгранично делимо, то Р -
невырожденная матрица.
Замечание. Если потребовать больше, а именно, чтобы ограничение О (1 /п)
было выполнено и для норм || Р" - бе||, то Qt становится сложным
пуассоновским процессом. Можно выразить спектр оператора
Tf(g)=\f(gh)P(dh)
G
через спектры матриц РТ. Сделаем это для симметричных распределений
вероятностей.
86
Гл. 3. Стохастические группы
Теорема 3.2.8. Спектр оператора Т, соответствующего симметричному
распределению вероятностей Р, дискретен. Он состоит из собственных
значений всех матриц РТ, причем собственное значение матрицы Рг должно
считаться dr раз, если Рг есть квадратная матрица порядка dT.
Доказательство. Пусть X есть собственное значение матрицы Рг. Так как
матрица Рг эрмитова, то она может быть приведена к диагональному виду, и
значение X будет стоять на диагонали. Другими словами, мы выбираем новую
подходящую прямоугольную систему координат. Обозначим функции m[f (g),
выраженные в новых координатах, через п$ (g). Конечно, новые функции
обладают свойствами, аналогичными тем, которым удовлетворяли старые,
такими, как ортогональность и т. п. Имеем
{ J п[0 (g) Р (dg); i,j =1,2,..., dr J
a2
0 adJ
где, скажем, aY = X. Тогда
T!r:i(g)==\n^(gh)p(dh)^
G
dr
=~- 2 "1? (s) \ 11П (h)p (dh) = (8) ¦
3=1 G
Отсюда вытекает, что n^ (g) есть собственная функция оператора Т для г =
1,2, . . . , dr. Но тогда 1 - собственное значение оператора Т и должно
считаться dr раз. Поскольку функции п% (g), как и mi'p (g), образуют
полную систему, то этими собственными значениями исчерпывается спектр
оператора Т.
3.3. Коммутативные локально компактные стохастические
группы
Для случая групп, которые коммутативны, но не обязательно компактны, а
