Вероятности на алгебраических структурах - Гренандер У.
Скачать (прямая ссылка):
непустого открытого множества О. Такая мера, мера Хаара, однозначно
определена с точностью до умножения на действительную постоянную.
Конечно, существует также аналогичная инвариантная справа мера v.
Для произвольного фиксированного g функция множества fi (Eg) опять
инвариантна слева и может быть записана в виде A (g)-|x (Е). Легко
видеть, что A (gh) = A (g)-A (h) и что A (g) есть непрерывная
положительная функция на G. Если группа G компактна, то A (g) должно
равняться единице, так как если бы для некоторого элемента g0 было A (g0)
Ф 1, скажем > 1, то последовательность A (gjf) = = A" (go) была бы
неограничена, хотя А (х) должна быть ограничена в силу своей
непрерывности и компактности своей области определения. Следовательно,
меры, инвариантные слева, и меры, инвариантные справа, по существу,
совпадают на компактной группе (на коммутативной группе это имеет место
тривиальным образом), и мы можем их нормировать одинаковым образом: ц,
(G) = v (G) = 1, поскольку компактные множества имеют конечные меры.
64
Г л- 3. Стохастические группы
Множество сЯ (G) всех (регулярных) нормированных борелевских мер на G,
как и раньше, является топологической полугруппой. Можно было бы
подумать, что & (G) теперь будет группой, но это не так, если только G не
состоит из единственного элемента е. Действительно, пусть заданное
распределение вероятностей Р ? & (G) имеет обратное распределение Q, т.
е. Р * Q = 6е, где 6g есть распределение вероятностей, при котором вся
[распределенная масса сосредоточена на элементе g. Но тогда s (Р) s (Q) =
е, а это возможно, только если s (Р) состоит из единственной точки.
Важным подмножеством в ^P(G) является множество &(G) всех распределений
из &(G), абсолютно непрерывных относительно |и, (см. замечания 3.1.i).
Они могут быть записаны в виде
Р(Е)=\ p(g)p(dg),
Е
где р (g) - обобщенная плотность, или производная Радона - Никодима dP
/d[i. Если Q - произвольное распределение из ftP(G), то Q * Р 6 &(G) и
J p{h-^)Q(dh),
h?G
так что &(G) является левым идеалом. Если Q также принадлежит &(G) и dQ
!d\i = q, то
^5Г-)= S P{h~1g)q{h)\^{dh). h?G
С & (G) связана групповая алгебра Lt (G), состоящая из всех
комплекснозначных функций, абсолютно интегрируемых относительно меры
Хаара на G. Если умножение в Ь± (G) определено, как и выше, интегралом
композиции, то ясно, что Li (G) есть банахова алгебра (см. замечания ния
ЗЛ-г).
Аналогично определяется гильбертово пространство L2 (G) как множество
всех комплекснозначных функций, квадрат которых интегрируем относительно
v, с обычным в Z-2 определением скалярного произведения.
3.1. Общие замечания о стохастических группах 65
При / 6 L (G) вероятностный оператор Т, соответствующий распределению Р
на G, определяется формулой
Tf(g) = Ef(gh)= J f (gh)P(dh).
h?G
Область определения Т может быть расширена до L2 (G). Действительно, при
норме пространства L2 (G) имеем (см. замечания 3.1.3)
TfW2< \ I J \f{ghi)f{ghz)\P{dhl)P{dh.i)v(dg)<
G G G
5 5 Y\ i/wi'v№)/ $ \f(gh2)\2v(dg)P(dhl)P(dh2)
<
G G И
J I f (gh) I2 v (dg) = jj | f (и) I2 v (du /г"1) =
G G
= J \f(u)\*v(du) = \\f\\\
G
так что ||T/]|<||/||, f в L, что обеспечивает единственное продолжение на
L2 (G) обычным образом, так как L (G) плотно в L2 (G).
Особый интерес представляет оператор
Rhf(g) = f(gh),
соответствующий вероятностной мере Р = Sh. Оператор Rh называется правым
переносом. Левый перенос может быть определен как
Lhf ig) = f(h~1g).
Оператор, сопряженный с Т, имеет вид
T*f(§)= I f(gh)Q(dh),
h?G
где Q (Е) = Р (Е-1), так что T*f (g) = Е/ [gh'1) при тех же обозначениях,
что и выше. Действительно, (Tf, ф) =
= \ J f.fgh) Ф (?)р (dh) v (dg) = J J / (и) ф (uv) Q (dv) v (du) =
G G GO
66
Гл. 3. Стохастические группы
Необходимым и достаточным условием самосопряженности оператора Т являются
равенства Р (Е) = Q (Е) = Р (Е~*), т. е. мера Р должна быть симметричной.
Для того чтобы оператор Т был нормальным, необходимо и достаточно, чтобы
Р * Q = Q * Р\ это доказывается аналогично.
Особенно важен симметричный случай. Спектр оператора Т расположен на
интервале (-1, 1), и интересно рассмотреть случаи, когда |[ Т || = 1 и
когда || Т || <; 1. В последнем случае Тп -у 0 при п оо, так что Рп* (С)
-у О для любого компактного множества С. Это не может иметь места,
конечно, когда G компактна. Предположим, что для любого С можно найти
последовательность фп (g) 6
6 L (G), такую, что функция, тождественно равная единице, равномерно
аппроксимируется на С функциями
?п] = = 1Ща 5 Фп (g) фп (?h) v (dg) ,
G
где фп (g) - фп (g-1). (С аналогичным условием мы встретимся позднее, в
гл. 5.) Тогда
||Тф;| = [|^]г2 \ ^ фп ^ Р ^ V ^ =
= 5 5 (Klh2) Р (dh^ Р (dh2),
а это стремится к 1 при п ->оо, так что || Т || должна
быть
равна 1.
Сделаем некоторые предварительные замечания относительно Т. Записывая Т в
спектральном представлении как самосопряженный оператор
1
7= ^ bdE(k),
-1
где Е (к) - разложение единицы, получаем для преобразования,
