Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
*) Как правило, х = {хь лг2, ..., хп} означает точку л-мер-ного пространства Rn. Читатель может при первом чтении представлять себе точку х на прямой.
—оо
3]
§ i. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
15
финитна, т. е. обращается в нуль вне некоторой ограниченной области (своей для каждой из функций ср(х)).
Эти функции будем называть основными, а всю их совокупность К назовем основным пространством.
Основные функции можно складывать друг с другом и умножать на вещественные числа, причем снова будут получаться основные функции; таким образом, совокупность К есть линейное пространство.
Далее, мы будем говорить, что последовательность ?i С*)» ?2 (х)< • • • > ?v (х), . . . основных функций стремится к нулю в пространстве К, если все эти функции обращаются в нуль вне одной и той же ограниченной области и равномерно сходятся к нулю (в обычном смысле) так же, как и их производные любого порядка.
Примером основной функции, обращающейся в нуль при
г = | х ] = xl ^ а> может служить функция
( —&г
<?(.x,a) = ie "2 г' при г О, (!)
{ 0 при г!>л.
Последовательность функций tpv (х) = <р (х, а) (ч = 1, 2, ...)
стремится к нулю в пространстве /С Последовательность функций
<р„ (х) — <р , aj (м=1, 2, ...) стремится к нулю равномерно
вместе со всеми производными, но не стремится к нулю в пространстве поскольку нет общей ограниченной области, вне которой эти функции обращаются в нуль.
Существует много разнообразных основных функций. Например (см. добавление 1 к этой главе, п. 1), для заданной финитной непрерывной функции f(x) всегда можно указать как угодно близкую к ней основную функцию (х), т. е. такую основную функцию, что при всех х и заданном е > О
\/(х) — 9(х)\<е.
3. Обобщенные функции. Мы говорим, что нам задан линейный непрерывный функционал f на пространстве К, если указано правило, в силу которого с каждой основной функцией ср(л-) сопоставлено некоторое вещественное число (/, ср), и при этом выполнены следующие условия:
а)>-для любых двух вещественных чисел а1, ct^ и любых двух основных функций cpi (л:), ф2(х) имеет место равенство (/. ai9i •+• а2?г) = ai (/• <Pi) Ч~ а2 (/> ?2) (свойство линей-' ноет и функционала /);
16 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [3
б) если последовательность основных функций срь
ср2.....<р„, ... стремится к нулю в пространстве К, то
последовательность чисел (/, ср,), (/, ср2), . ... (/, сру), ... сходится к нулю (свойство непрерывности функционала /).
Например, пусть задана некоторая функция f(x), абсолютно интегрируемая в каждой конечной области пространства Rn (такие функции будем в дальнейшем называть локально интегрируемыми). С помощью этой функции мы можем каждой основной функции <р(лг) поставить в соответствие число
(/.?)= ff(x)9(x)dx, (1)
Rn
где интегрирование фактически совершается по ограниченной области, вне которой функция <р(лг) обращается в нуль. Легко проверить, что для функционала / условия а) и б) выполнены; в частности, выполнение условия б) вытекает из возможности перехода к пределу под знаком интеграла в случае равномерной сходимости подынтегральных функций в ограниченной области.
Функционал вида (1) есть весьма частный пример линейного непрерывного функционала на пространстве А". Легко можно указать и функционалы иного типа. Например, функционал, который ставит в соответствие каждой функции f(x) ее значение в точке х0 = 0, очевидно, линеен и непрерывен. Но легко показать,' что он не может быть представлен в виде (1) ни при какой локально интегрируемой функции f(x).
Действительно, предположим, что для некоторой локально интегрируемой функции / (х) и любой основной функции у (х) имеет место равенство
ff(x)<?{x) dx = <f(0). п
В частности, для рассмотренной в предыдущем пункте функции
а"
<?(х, а), равной е а'~г% при г<^а и нулю при г~^> а,
jf(x)<f {х, a)dx = <? (О, а) = е~К (2)
3]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
17
Но при а->0 интеграл слева стремится к нулю, что противоречит равенству (2).
Указанный функционал мы будем называть дельта-функцией в соответствии с установившейся терминологией (хотя и не точной, поскольку дельта-функция не есть функция в классическом смысле слова) и обозначать через 5 (х); таким образом,
<8(х), <р(х)) = <р(0).
Часто встречается также «сдвинутая» дельта-функция —-функционал Ь (х — х0), определяемый равенством
ф(х — х0), <р (*) ) = <р (*о).
Обобщенной функцией мы будем теперь называть каждый линейный непрерывный функционал, определенный на основном пространстве К. Обобщенные функции, задаваемые формулами вида (1), будем называть регулярными, все остальные (в том числе дельта-функцию) — сингулярными.
Регулярную обобщенную функцию /, действующую по формуле *)
(/, ср) = С J*<p (x)dx = fCf(x)dx,
будем называть постоянной С. Например, обобщенная функция единица действует по формуле
(1. ?) = /4{x)dx.
Можно показать (см. вып. 2, гл. II, § 1, п. 5), что значения регулярного функционала на основных функциях позволяют однозначно определить соответствующую функцию f(x) с точностью до ее значений на множестве меры нуль. Это означает, что различным функциям /х (х) и /2 (х) соответствуют различные (т. е. имеющие различные значения на некоторых основных функциях) обобщенные функции. Поэтому всю совокупность обычных локально интегрируемых функций можно рассматривать как некоторую часть совокупности всех обобщенных функций.
