Обобщенные функции - Гельфанд И.М.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим для доказательства бесконечно дифференцируемую функцию ?•„ (х), равную единице в шаре|лг|<;^ и нулю вне шара | х | ^ 2v. Для любой основной функции ср очевидно, что g-vcp = cp, начиная с некоторого v. Отсюда следует, что для любого функционала / произведения ^„/стремятся к /; действительно, для любой основной функции ев мы имеем (g\,/, <р) —(/. g"v<p) = (/. ф). начиная с некоторого v. т. е. условие (gvf, ср)—>(/, ?) заведомо выполняется. Функционал gvf, как легко видеть, равен нулю в области \х \ >¦ 2v и, следовательно, сосредоточен на ограниченном множестве | х | ^ 2v. Итак, обобщенная функция /является пределом обобщенных функций gvf, сосредоточенных на ограниченных множествах, что и утверждалось.
Важным фактом является полнота пространства обобщенных функций относительно введенной сходимости. Иными словами, если последовательность функционалов Д, Д, ..., /ч, ... такова, что для каждой основной функции ср существует предел числовой последовательности (Д, <р), то этот предел определяет снова линейный непрерывный функционал на пространстве /С-
Доказательство этого предложения дано в добавлении в конце этого выпуска.
dx
1
30 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ [9
9. Комплексные основные и обобщенные функции.
В предыдущем изложении предполагалось, что основные функции ср (х) принимают только вещественные значения и что значения функционалов (/, ср) также вещественны.
Можно определить и комплексные обобщенные функции. Для этого мы перейдем от пространства вещественных основных функций к пространству комплексных основных (т. е. бесконечно дифференцируемых и финитных) функций с прежним определением операций.
Комплексной обобщенной функцией мы будем теперь называть всякий линейный непрерывный функционал на этом новом пространстве, принимающий, возможно, и комплексные значения.
Каждой комплекснозначной локально интегрируемой функции / (х) мы поставим в соответствие функционал
(/.?) = /ТОО? (x)dx, (1)
где черта сверху означает переход к комплексно сопряженной величине.
Обозначения для пространств комплексных основных и обобщенных функций мы оставим прежние: К и К'.
Действия сложения и умножения на (комплексное) число в пространстве комплексных обобщенных функций задаются формулами
(Л+Д. ?) = (Л. <р)-КЛ. ?). \ 2
(а/, <р) = а(/, ?) = (/. аср). J ()
Умножение на комплексную бесконечно дифференцируемую функцию а (х) производится по формуле
(а (х)/, ср) = (/, а~{х) ср (х) ). (3)
Каждой обобщенной функции / можно сопоставить комплексно сопряженную обобщенную функцию / по формуле
(7. ?) = (/. ?)• (4)
Легко проверить, что для обычной функции f\x), рассматриваемой в качестве обобщенной, операция комплексного сопряжения отвечает переходу к обычной комплексно
Ю]
§ 1. ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ
31
сопряженной функции. В дальнейшем мы будем, как правило, рассматривать вещественный случай. Впрочем, результаты, полученные для вещественных обобщенных функций, большей частью автоматически переносятся на комплексный случай с очевидными изменениями, вытекающими из фор-мул (1) —(4).
10. Другие основные пространства. Функционалы, определенные на основном пространстве К, во многих случаях удобно распространять на более широкие пространства функций и изучать уже на этих пространствах.
Одним из наиболее часто встречающихся в применениях является пространство S, образованное из таких бесконечно дифференцируемых функций <p(J?), которые при |лг|->оо
стремятся к нулю быстрее любой степени г—г, так же как
I х I
и их производные любого порядка (например, е~х*). Таким образом, на оси —оо < х < оо функции <?(X)?S удовлетворяют неравенствам вида
\xh^{x)\<CM (1)
при любых k, <7 = 0, 1, 2, ...
Для случая нескольких независимых переменных хи . . ., хп неравенства (1) заменяются неравенствами
(&i.....qn = 0, 1, 2, . . .),
что можно символически записать в более простой форме:
|х* D»?(x)|<Ci,,
где k = (Л,.....kn), q = fa!.....qn), хк = х\. . . х*п,
dxf.. .dxQnn '
Сходимость в пространстве S вводится следующим образом. Последовательность cpv (лг) называется сходящейся к функции cp(.v), если производные любого порядка от функции
32 ГЛ. I. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ flO
срч(лг) в любой ограниченной области равномерно сходятся к соответствующей производной от функции ср (х) и в оценках
случае предельная функция ср (х) также принадлежит к пространству S, что вытекает из неравенства (2) в результате предельного перехода при v —»• оо.
Очевидно, что каждая финитная бесконечно дифференцируемая функция, т. е. основная функция из пространства К, принадлежит и к пространству S. Более того, финитные функции образуют в пространстве S плотное множество. Для доказательства построим функцию еч (х) ? К, равную единице в кубе J Xj | v. равную нулю вне куба jxf|^2v и такую, чтобы производные любого фиксированного порядка у всех функций ev(jc)(v=l, 2, . . .) были бы ограничены одним и тем же числом, не зависящим от v * ).
